tranfert d'indépendance de N à N^2

raphayel · August 2011

Titre initial : tranfert de l'indépendance de \verb=$\mathbb{N}$ à $\mathbb{N}^2$=
[Le titre ne doit pas être cryptique ! AD]

Désolé je n'ai pas vraiment trouvé de titre explicite...C'est un peu un problème de théorie de la mesure aussi:

Je me demande s'il existe une fonction mesurable (!) $\psi:[0,1]^2\mapsto [0,1]$ telle que si $(X_n)_n$ est une famille iid de variables uniformes (ou autre) sur $[0,1]$ alors $\{\psi(X_n,X_m),n\neq m\}$ est une famille de variables aléatoires indépendantes (et évidemment identiquement distribuées).

Toute remarque est la bienvenue car je n'ai pu me faire aucune opinion (objective) sur la question...
Any idea ?

Steven Neutral · August 2011

Avec $\psi(x+y)=x+y \text{modulo} 1$ ça donne des v.a.\ 2 à 2 indépendantes et pour indépendantes je n'ai pas réfléchi mais ça m'a l'air plausible.
En fait je réfléchis plutôt au cas où les $X_n$ sont Bernoulli sur $\{-1, 1\}$ et $\psi(x,y)=xy$.

raphayel · August 2011

Je pense qu'une bonne méthode pour tester l'indépendance est la suivante: Si je connais $a=\psi(X_1,X_2)$ et $b=\psi(X_1,X_3)$ je peux dire quelque chose sur $c=\psi(X_2,X_3)$?

Si la réponse est oui, il n'y a pas indépendance. Dans le cas des Bernoulli, si $a=b=1$, alors $c=1$ et il n'y a donc pas indépendance.

Pour la congruence, ça a l'air intéresseant je vais regarder ça. Merci!

raphayel · August 2011

Je pense que la congruence ne marche pas non plus:
On munit $\{(n,m)\mid n< m\}$ de l'ordre lexicographique srict, noté $< $.
Admettons que je connaisse tous les $X_i+X_j$ pour $(i,j)<(4,5)$.
Alors $$X_4-X_5=(X_1+X_4)-(X_1+X_5)$$ et $$
X_4-3 X_5=(X_1+X_2)+(X_3+X_4)-(X_1+X_5)-(X_2+X_5)-(X_3+X_5)
$$ est connu. Donc $2X_5=(X_4-X_5)-(X_4-3X_5)$ est connu.
De même $2X_4$ est connu. Donc $2(X_4+X_5)$ est connu, donc $X_4+X_5$ ne peut prendre que 2 valeurs possibles...

tranfert d'indépendance de N à N^2

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