Précision sur corrigé X2005, MP

Bonjour,

En lisant une correction de la première composition de 2005 de l'X, filière MP, je ne comprends le point suivant:
Pour $n\geq 1$, soit $g\in C^n([-1,1],\mathbb{C})$ fixée. On pose $(B_ng)(x)=\int_0^1 g'(xt) dt,$ pour $x\in[0,1]$.

On est bien d'accord que pour montrer que $B_ng\in C^{n-1}([-1,1],\mathbb{C})$, il suffit de s'assurer que la fonction $h:[0,1]\times[-1,1]\to \mathbb{C}$ définie par $h(x,t)=g'(xt)$ est continue sur $[0,1]\times[-1,1]$ et que les dérivées partielles $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} h, \ldots, \frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}} h$ existent et sont continues sur $[0,1]\times[-1,1]$. Le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre sur un segment suffit alors à conclure.

Dans le corrigé, les auteurs vérifient en plus que les dérivées satisfont une hypothèse de domination par une fonction intégrale indépendante de $t$ pour vérifier que les dérivées partielles sont intégrables.

Est-ce moi qui ne suis pas réveillé, ou est-ce bien inutile de vérifier cette hypothèse de domination à moins de vouloir appliquer le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre dans sa version générale (c'est-à-dire pas obligatoirement sur un segment) ? Le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre sur un segment est bien encore au programme en prépa, non ?

Cordialement.