Simulation de distributions multivariées

Bonjour,

Je fais un peu l'état de l'art des méthodes de simulation de distributions multivariées. J'ai l'impression qu'à part le cas Gaussien, qui est traité grâce à la décomposition de Cholesky des matrices définies positives il n'y a pas grande chose de fait sur le sujet. Imaginons que je dispose de deux Lévy corrélés $X$ et $Y$, en particulier j'ai à disposition la fonction caractéristique du couple par exemple. Comment simuler le vecteur aléatoire $(X,Y)$ ?

Merci par avance

Réponses

  • En général, même en dimension $n=1$, il n'est pas très facile de simuler une variable aléatoire ne connaissant que sa transformée de Fourier.
    Sinon, as-tu regardé du coté des copules ?

    [La case LaTeX. AD]
  • En dimension 1 le problème est résolu numériquement par inversion de la fonction caractéristique (quadrature grâce aux formules de Gil-Pelaez, Carr-Madan ou transformée d'Hilbert récemment). En dimension supérieure me semble bien se corser. Je vais voir du côté des copules, que je ne connais pas.
  • Salut,
    C'est quoi cette transformée d'Hilbert récente ?
    Ok Gil-Pelaez offre une solution une problème mais il reste une intégrale à évaluer dans la méthode.
  • Pas sûr que ce soit ça dont parle AlphaXi (pour simuler)
  • AlphaXi écrivait:
    > Imaginons que je dispose de deux Lévy corrélés $X$ et $Y$, en particulier j'ai à disposition la fonction
    > caractéristique du couple par exemple. Comment simuler le vecteur aléatoire $(X,Y)$ ?

    Comment est decrit le processus de Levy $t \mapsto (X_t, Y_t)$. Dans bien des cas, il est plus facile de simuler la trajectoire
    entiere $(X_s,Y_s)_{s \in [0,T]}$ meme si on ne s'interesse seulement qu'a $(X_T,Y_T)$.
  • @Steven Neutral : http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1467-9965.2008.00338.x/full

    Le papier qui parle de la méthode en détail est pas encore publié. On exprime en gros la fonction de répartition à partir d'une transformée d'Hilbert impliquant la fonction caractéristique, on tronque à l'aide d'un développement en sinus cardinal. Cette méthode s'avère meilleure que la FFT de Carr-Madan et autres quadratures du fait du total contrôle de l'erreur et de la résolution de certains problèmes constatés par exemple dans le pricing d'options européennes (prix négatifs).

    Revenons à nos moutons... Existe-t-il une expression de la fonction caractéristique jointe de $X$ et $Y$ avec au milieu une jolie matrice de corrélation quand $X$ et $Y$ sont des processus de Lévy ?

    Merci
  • Hello,

    Il me semble que dans le bouquin de Cont et Tankov sur les processus de Lévy, tu as une approche pour modéliser les processus de Lévy multivariés basée sur une transformation de leur copule.

    a+
  • AlphaXi a écrit:
    En dimension 1 le problème est résolu numériquement par inversion de la fonction caractéristique (quadrature grâce aux formules de Gil-Pelaez, Carr-Madan ou transformée d'Hilbert récemment)

    Au risque de dire une bêtise, il me semble que les méthodes que tu cites te permettent de trouver une approximation de la fonction de répartition, pas de son inverse. Pour simuler ta v.a. à partir d'une uniforme, il te reste encore à inverser la fdr, tu le fais numériquement ? Je me pose des questions sur l'efficacité de la méthode...
    AlphaXi a écrit:
    Existe-t-il une expression de la fonction caractéristique jointe de $X$ et $Y$ avec au milieu une jolie matrice de corrélation quand $X$ et $Y$ sont des processus de Lévy ?

    Pour commencer, la corrélation de $X$ et $Y$ n'est pas forcément définie, et même quand c'est le cas, elle ne suffit pas à contenir toute l'information sur la dépendance entre $X$ et $Y$. De mémoire on construit facilement une famille $(X_i,Y_i)$ de processus de Poisson composés ayant les mêmes lois marginales et la même matrice de corrélation, mais des lois jointes deux-à-deux distinctes.
  • Hello,

    L'affirmation "en dim 1 c'est fini" (je déforme ton propos je le reconnais) me parait un peu péremptoire à moi aussi, sauf erreur il me semble que toute solution qui implique qu'il y a à calculer numériquement une intégrale n'est pas si générale que ça.

    Il me semble me souvenir ( je ne sais plus du tout où j'ai vu ça) d'un théorème de complexité qui affirme :
    -c'est un problème NP-hard
    ou bien
    -un truc du genre quel que soit le schéma d'intégration il existe une (gentilles?) fonction qui fait capoter le schéma

    Si un numéricien lit ça il saura peut-être infirmer ou affiner mon propos.

    a+
  • @egoroffski : il n'y a pas de méthode exacte si l'on a seulement la fonction caractéristique à disposition. C'est dur mais on a des méthodes, alors que pour le cas multivarié la palette d'outils est plus restreinte. On peut approximer la fdr, l'interpoler et l'inverser par ce biais dans la zone d'interpolation ou alors par du Newton Raphson en dehors si on veut utiliser une méthode inverse pour simuler. Cela crée évidemment un biais etc. L'étude de ce biais a été récemment faite ici.

    @TheBridge : je vais regarder ça dans le Cont/Tankov. Si on connait la copule de tout Lévy il existe donc un schéma de simulation associé ? Est-il efficace ?
  • Bonjour,

    Pour le cas unidimensionnel, je rappelle (une fois de plus ! :)) à votre bon souvenir le "Non-Uniform Random Variate Generation" de L. Devroye et plus particulièrement le chapitre 14 à partir de la page 695. Il y a notamment un exemple d'algorithme de rejet avec intégration numérique. Le livre est toujours dispo sur sa page.
    Pour le cas multidim en revanche, je n'ai pas de référence.

    Amicalement,
  • Merci pour la référence qui a l'air intéressante. Il y a bien une erreur d'interpolation qui s'ajoute à l'erreur dûe à l'inversion numérique de la transformée de Fourier.

    Dans le cas multivarié, si tu utilises cet algo (ou celui mentionné par Kuja) pour les marginales, et que tu sais simuler un vecteur d'uniformes ayant la bonne copule, tu peux les utiliser comme inputs pour ton algo. Autre possibilité, sans copule ; faire de la simulation par tranches, en simulant $X_1$ puis $X_2|X_1$, etc ; les fonctions caractéristiques conditionnelles doivent s'exprimer "simplement" en petite dimension. Ou encore simuler toute la trajectoire comme le suggère Alekk ; il y a des schémas efficaces pour les processus de Lévy, avec approximation brownienne des petits sauts par exemple.
  • @Kuja : d'après Devroye, von Neumann avait parlé du cas multidimensionnel dans l'article des années 50 où il introduit la méthode du rejet. Je trouve pas l'article sur le net cela dit, va falloir fouiller les bibliothèques. Cela dit il me semble que la preuve de la généralisation est assez directe. Je travaille sur une généralisation des travaux de Devroye justement. Comme je m'y connais pas forcément en copules etc j'aurais aimé savoir si cela pourrait être intéressant dans le cas très général où on n'a à disposition uniquement la fonction caractéristique.

    @egoroffski : merci pour toutes ces précisions!
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