Compacité d'un ensemble d'ensembles

Bonjour,

merci pour ton message,

un ensemble connecté c'est un ensemble qui n'a qu'une seule composante connexe, dans $\mathbb{R}^2$ ca équivaut à dire que deux points de cet ensemble peuvent toujours etre reliés par un chemin continu.

La distance de Hausdorff est définie de la manière suivante: Pour deux compacts $A,B$, $d_H(A,B)\leq r$ ssi chaque point de $A$ est à distance au plus $r$ de $B$ et vice-versa. La topologie induite est la même que la topologie de Fell, qui est compacte!

Un autre point: En fait pour mon problème c'est suffisant de supposer que seule le frontière de l'ensemble est connectée (d'ailleurs je ne sais pas ce qui se passe sans cette hypothèse). Peut-etre que ca revient a dire que l'ensemble est simplement connexe, je ne sais pas.

J'ai fait quelques petits dessins et j'ai l'impression que je peux utiliser les "Packing measures": $P(A)$ est le supremum sur $\delta$ des sommes de diametres de cercles de rayon $\leq \delta$ qui ont leur centre sur $A$ et ne se touchent pas. Quelqu'un connait une bonne référence pour ces mesures? (Je cherche à savoir si $\leq \delta$ peut etre remplacé par $=\delta$).

Bonjour,

connecté=connexe, je n'ai peut-être pas le bon vocabulaire.

Je pensais au périmètre comme mesure de Hausdorff $1$-dimensionelle de la frontière. La raison est que la classe des ensembles qui sont limites de composantes bornées de courbes de Jordan n'est pas fermée (même si on impose que le Jordan-périmètre soit plus petit que $1$, serpent qui se referme sur lui-même par exemple). C'est aussi pour ça que je ne peux pas considérer les ensembles à frontière connexe.

Je n'arrive pas à trouver de contre-exemples. L'idée serait de trouver une suite d'ensembles connexes qui gagne subitement du périmètre à la limite, mais je ne vois pas comment c'est possible...

Merci de ta réponse en tout cas!

Oui tout à fait d'accord, je me suis mal exprimé. Pour des raisons un peu compliquées il faudrait dans ce cas que je ne considère que les ensembles pour lesquels les deux périmètres coincident, et cette classe n'est pas fermée, donc le Jordan-péimètre est inutile pour moi.

Le fait qu'on passe de périmètre 1 à 0 ne m'étonne pas, ce que je veux montrer est que le contraire (passer de 1 à 2 par exemple) est impossible, avec le périmètre classique.

Dis donc tu écris vite

Mon périmètre c'est la mesure de Hausdorff 1-dimensionelle de la frontière. Formellement, le supremum de sommes des diametres de boules qui recouvrent la frontière.

Si tu sais ou je peux trouver une preuve de semi-continuité, bingo! Ca n'est pas standard puisque c'est faux si on autorise les ensembles non-connexes (points qui remplissent le carré par exemple).

(Sinon je suis un probabiliste, j'avais l'impression que ct comme ça qu'on définissait le périmètre dans $\mathbb{R}^2$).

Conduis prudemment!

Bon en fait j'ai réfléchi et si on remplace "périmètre" par le "périmètre essentiel" de Remarque, ça m'intéresse aussi beaucoup! Mais du coup il faudrait montrer que la convergence pour Hausdorff implique la convergence L1 (ce qui m'intéresse aussi by the way).

@CChalons: Je serai ravi de voir un contre-exemple.
Malheureusement le "vrai" périmètre "intuitif" te laisse faire n'importe quoi à l'intérieur de ta composante bornée (tout en restant connexe) sans changer de valeur, ce qui ne convient pas pour mon problème.

@remarque: Bon par rapport à la question précédente, ça ne marche pas: Imagine une longue courbe qui remplit le carré, son perimètre essentiel est 0, et pourtant il converge pour Hausdorff vers le carré tout entier...

Ah ok $R$ est l'ensemble de boules.

Il se trouve qu'à un moment donné $K'$ devra avoir au moins un point de sa frontière dans chacune de ses boules, donc ça va être dur d'économiser des boules je pense (sic).

D'ailleurs en terme de recherches de contre-exemple, avec ce genre de considérations j'ai pu montrer que si $K'$ a tjs une frontière connexe alors le périmètre est plus grand à la limite (donc uniquement des contre-exemples avec $\partial K'$ déconnectés).

C'est vrai que cette topo est très grossière, mais mon espoir est qu'elle devienne (beaucoup) moins grossière quand on connecte les ensembles...