espérance nulle

Mlkd · July 2011

Bonsoir,

Quelle est l'interprétation concrète d'une espérance nulle en probabilité ? Qu'est-ce que cela signifie, si par exemple, un jeu de hasard a une espérance nulle ?

Cordialement.

XouYauchoix · July 2011

Bonsoir,

Une esperance est une moyenne. Je te laisse deviner ce que ca veut dire pour ton jeu.

Erable · July 2011

Si la moyenne de ton jeu est $m$ et si tu notes $G_n$ le gain (positif ou négatif) obtenu au bout de $n$ parties, alors :
$$
\lim \frac{G_n}{n} = m.
$$
C'est (une version imprécise) de la loi des grands nombres. Par conséquent, si $m>0$, alors si tu joues suffisament longtemps ton gain sera positif. Si $m<0$, si tu joues suffisament longtemps, ton gain sera négatif. Si $m=0$ bah... c'est moins clair :-)

Mathias.Deshayes · July 2011

Concrètement ça veut dire que si tu joues longtemps à ce jeu tu ne seras ni gagnant ni perdant.
C'est par exemple le cas dans le jeu suivant (toi contre moi) :

-Je lance une pièce équilibrée en l'air, si elle tombe sur face je te donne 1€, si elle tombe sur pile tu me donne 1€.

L'espérance est nulle : si on joue toute la journée on repartira à peu près avec ce que l'on avait au départ.

C'est un concept très important dans la théorie des jeux. Ça permet entre autre de comprendre pourquoi les casinos gagnent de l'argent et pourquoi il n'existe aucune méthode gagnante à la roulette (contrairement à ce qu'on peut lire sur Internet ou entendre en soirée...)

Erable · July 2011

Matthias, avec ton exemple symétrique, si on joue un nombre impair de fois, on a une chance sur 2 d'avoir un gain total positif et une chance sur 2 d'avoir un gain total négatif. (Si on joue un nombre pair de fois, ça reste symétrique, mais il y a une petite chance que le gain total soit nul.) Par conséquent résumer cela en disant "tu ne seras ni gagnant ni perdant" ne me parait pas correct. Bon, mais comme ce sont des énoncés vagues... :-)

On peut être plus précis en sortant le TCL mais vu que l'auteur de la question ne se manifeste plus...

Mathias.Deshayes · July 2011

Erable, j'essayais de 'vulgariser' cette notion d'espérance nulle. Je pense que l'auteur voulait comprendre le concept d'espérance nulle sans forcément rentrer dans les détails mathématiques :-)
Typiquement si l'auteur ne connait pas la notion d'espérance je ne pense pas qu'il veuille entendre parler de TCL.
Attendons qu'il se manifeste à nouveau pour fournir la réponse adaptée

Edit : tu noteras le "on repartira à peu près avec notre cagnotte de départ"

Erable · July 2011

Certes. Mais "tu ne seras ni gagnant ni perdant" est faux. Vulgarisation ou pas. Ce que l'on peut dire, c'est que si l'espérance est positive, tu auras tendance à gagner de l'argent. Si elle est négative tu auras tendance à en perdre. Si elle est nulle, il y a une certaine symétrie, chacun peut perdre ou gagner avec à peu près la même proba. Bref, c'est un jeu de hasard honnête ! Ca me paraît assez différent de ce que tu disais dans ton message.

Mlkd · July 2011

Désolé pour ma réponse tardive.

En effet, je cherchais une réponse plutôt intuitive de ce phénomène.

Mais rentrer dans les détails est toujours bon à prendre, ne serait-ce pour ma culture générale.

Je retiendrai surtout cela : " Ce que l'on peut dire, c'est que si l'espérance est positive, tu auras tendance à gagner de l'argent. Si elle est négative tu auras tendance à en perdre. Si elle est nulle, il y a une certaine symétrie, chacun peut perdre ou gagner avec à peu près la même proba. Bref, c'est un jeu de hasard honnête ! Ca me paraît assez différent de ce que tu disais dans ton message."

Encore merci à vous.

espérance nulle

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