topologie et convexité

Je prend $x \in P$ et je veux montrer qu'il est dans l'adhérence de $P \cap F$. Je prend $B$ une boule ouverte incluse dans $P$. Alors, par convexité, pour tout $t \in ]0,1]$, on a : $B_t=(1-t)x+tB \subset P$. Mais pour tout $t$ dans cet interval $B_t$ est un ouvert non vide et donc je peux trouver $x_t \in B_t \cap F \subset P \cap F$. Comme $x_t \to x$, on a que $x \in \overline{P \cap F}$.

à mamane, ton F n'est pas dense.

Non seulement, il n'est pas dense, mais ce n'est pas un sous-ev.

Si Christophe, il utilise toute les hypothèses.

Du calme mon grand, du calme

Je prend $B$ une boule ouverte incluse dans $P$. <== Il utilise le fait que $P$ est d'intérieur non vide.
$x_t \in B_t \cap F$ <== $B_t \cap F$ est non vide car $F$ est dense dans $E$.
On utilise fermé pour l'autre inclusion et la convexité est indiquée.

Oui, ma preuve n'utilisait pas le fait que $F$ était un sous-espace vectoriel. D'ailleurs je pense que c'était une faute de frappe dans la question initiale, vu la petite remarque en dimension finie qui suivait.

Pour ceux qui veulent séparer un poil les choses, on peut écrire la preuve en deux temps :
- (L'adhérence de (l'intersection de $F$ et de l'intérieur de de $P$)) est (l'adhérence de l'intérieur de $P$) : par densité de $F$.
- l'adhérence de l'intérieur de $P$ est $P$ : car $P$ convexe fermé d'intérieur non vide.