univers infini

MathMax0
MathMax0
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

D'habitude je fais des exercices de probabilités dans des univers finis (cartes, dés, urnes et boules...) mais je me pose quelques questions comment il faudrait s'y prendre si l'univers $\Omega$ était infini.

On choisit au hasard un nombre dans $IN$.
a) Quelle est la proba que ce soit un multiple de 5?
b) Quelle est proba que ce soit 3?
c) Quelle est la proba que ce soit un nombre premier?

Voici les idées que j'ai, mais il me reste plein de questions:
a) Je dirais $\frac{1}{5}$, mais la formule "nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles" ne fonctionne pas, bien que les cas soient équiprobables.
b) Si je fais comme en analyse, alors $p({3})=\frac{1}{\infty}=0$. Est-ce possible que la proba d'un évènement soit nulle sans que cet évènement ne soit vide??
c) ???

Ou encore une autre question: je choisis au hasard deux nombres réels $x$ et $y$. Quelle est la probabilité que leur rapport $\frac{x}{y}$ soit irrationnel?

Si quelqu'un pouvait m'éclaircir quelque peu, ce serait génial !

Réponses

  • Guego
    Guego
    Pour avoir les idées claires, une première question à se poser est : qu'entends-tu par : "On choisit au hasard un nombre dans $\N$." ? Comment t'y prends-tu pour tirer un nombre au hasard dans $\N$ ?

    Sinon,
    "Est-ce possible que la proba d'un évènement soit nulle sans que cet évènement ne soit vide??"
    Oui, c'est possible.
  • MathMax0
    MathMax0
    Je ne sais pas bien comment répondre...
    "Une urne contient une infinité de boules numérotées par les naturels successifs. On en choisit une au hasard"
  • gerard0
    gerard0
    Matmax,

    peux-tu nous dire où tu as trouvé cet énoncé ?
    Pour ma part, je ne sais pas ce que veut dire "au hasard" dans ce cas, car l'équiprobabilité n'est pas possible (appelle p la probabilité de "0" et conclus...).

    Cordialement.
  • MathMax0
    MathMax0
    Ce sont des questions que je me suis posées. Je ne les ai pas recopiées et ce n'est pas un devoir. C'est juste que ça m'intéresse.

    Si je comprends bien votre réponse, mes questions n'ont pas de sens?

    Même pas la première? Il me semble logique de dire que c'est $\frac{1}{5}$ puisqu'un cinquième des naturels (ou chaque 5e nombre naturel) sont des multiples de 5.

    Que faut-il faire alors si on travaille sur un univers infini?

    Désolé si ma réponse est décousue, mais je suis un peu déboussolé...
  • christophe c
    christophe c
    à Mathmax, et bien c'est l'occasion de te répondre scientiquement. Ce qu'ont inventé les mathématiciens :Dqui sont exactement comme toi, c'est non pas "la probabilité que l'entier tiré appartienne à l'ensemble A", mais l'application qui à une application f allant de P(IN) dans [0,1], associe f(A) :D

    Tu vois, ils se prennent pas la tête les matheux. Après, ils dégagent quelques application allant de P(IN) dans [0,1] au motif qu'elles sont toutes pourries pour représenter des bonnes "notions de probabilité", ils gardent les autres (qui donnent disons un sous ensemble de [0,1] ^P(IN)) , et ils se posent des question formelles sur leur comportement.

    Comme tu as répondu d'une manière consensuelle à ta propre question (1), tu devrais de toi-même déjà énoncer une condition au moins que doiventt vérifier les éléments de T. Et petit à petit tu vas en construire d'autres et si t'as le gout à ça bien te marrer.

    Avec un peu d'espièglerie sincère, tu peux même arriver à une liste de conditions qui obligent $T=\emptyset$ et tu auras alors inventer un théorème.

    Je peux t'aider si tu veux: au lieu de tirer "un entier au hasard", tu tires "une suite d'entiers au hasard". Et tu supposes que c'est un vrai croupier qui le fait sans tricher. Normalement ce contexte devrait te permettre d'énoncer une liste d'exigences pour tes fonctions qui vont de $P(\N^\N)$ dans $[0,1]$ acceptables comme "raisonnablement dans T", et démontrer un théorème "...alors $T=\emptyset$.

    suggestions:
    1) pour tout A,B si A==B alors f(A)=f(B), où "A==B" veut dire "il existe une bijection b de IN dans IN tel que B est l'ensemble des uob pour u parcourant A.

    2) f(l'ensemble des suites u telles que u(n)=p ) =0
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Si tes questions ont un sens qui se mathématise comme je te l'ai dit. A savoir que ton point de départ est qu'à un évènement E, tu n'associes non pas "proba de E" (puisque tu n'as pas "proba" justment) mais $proba\mapsto proba(E)$ et c'est "ce truc bizarre" la "vraie" probabilité de E.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    car l'équiprobabilité n'est pas possible

    à Gérard, franchement, tu pousses, toi qui est plutôt antiboubakiste et considère qu'il ya de vraies probas et de vraies stats qui doivent vivre leur vie d'une manière relativement autonomes par rapport à la théorie de la mesure, voilà que tu lui manges dans la main en validant la condition de sigma-additivté, tssss la chaleur ne renforce pas tes dissidences.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • gerard0
    gerard0
    Christophe,

    tu n'as toujours pas compris que je ne suis pas antibourbakiste. Mais tu n'écoutes pas, tu te contentes de plaquer tes pensées sur les dires des autres que tu ne lis pas.
    Encore un exemple : ici, pas de sigma-additivité. Ta formation et tes marottes te font oublier les raisonnements élémentaires :
    Soit p la probabilité de tirer l'entier 0.
    Si p=0, par équiprobabilité, la probabilité de tirer l'entier k est nulle. Comme on veut modéliser "tirer un entier au hasard", c'est un peu gênant, mais surtout la probabilité de tirer un entier dans l'intervalle [0;n] est aussi nulle, ce qui fait que les entiers "usuels" ne seront tirés qu'improbablement (c'est différent du cas continu, pour lequel chaque réel est totalement improbable, mais les intervalles ont des probabilités éventuellement non nulles, ce qui traduit notre incompétence à déterminer précisément un réel, sauf une partie dénombrable d'entre eux).
    Si p>0, alors l'intervalle [0;E(1/p)+1] a une probabilité supérieure à 1, ce qui est à rejeter.

    Cordialement.
  • christophe c
    christophe c
    Alors pardon pour l'antiboubakisme, je rigolais un peu en fait (j'avais pas mis des smileys ??? il faut lire les smiley ). Par contre, la suite de ton post, sans troller, me parait un manque complet d'introspection de ta part vs à vis de ce thème, c'est marrant...

    Les témoignages de "gêne" que tu développes ne sont rien d'autres que des désirs de sigma additivité enfouis en toi, et donc j'ai bien fait de poster ce petit message provacateur à ton endroit car je t'aide :D:D:D à "te libérer" de la théorie de la mesure. C'est plus grave que je pensais, elle t'a possédé à ton insu :-(
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Ah non, toutes mes excuses, je n'avais pas mis de smiley (pourtant j'en suis pas avare)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • gerard0
    gerard0
    Tu es drôle, Christophe,

    il faut toujours que tu interprètes les dires des autres. Ce qui m'amuse le plus, c'est que j'ai découvert très tardivement la sigma additivité, alors que je viens de faire un raisonnement d'avant. Autrement dit, pour faire sainement des probas/stats, tu me confirmes que la sigma additivité est naturelle. Que les probabilistes ne l'ont pas mise ici sans raison.
    Mais tu vas bien trouver une explication psychanalytique de ce que j'écris ici.

    Une remarque : probabiliser sur les suites d'entiers n'est pas "choisir un entier au hasard", sauf si, comme beaucoup de matheux, on remplace un problème qu'on ne sait pas traiter par un autre en changeant le sens des mots (convergence stochastique quand ça ne converge pas, ...). J'y reviens.

    Cordialement.
  • christophe c
    christophe c
    tu me confirmes que la sigma additivité est naturelle. Que les probabilistes ne l'ont pas mise ici sans raison.
    Mais tu vas bien trouver une explication psychanalytique de ce que j'écris ici.

    Non, au contraire, on est d'accord.

    Sur le plan math, je n'ai pas bien compris ton dernier paragraphe (en tout cas dans le contexte où je répondais au gars? Ce que je lui disais c'est que si on cherche une application f de $P(\N^\N)$ dans $[0,1]$ qui vérifie des propriétés "naturelles" (mais pas aussi tendancieuses que d'être sigma additive quand même :D ) , on a vite fait de dresser une liste dont chacune est acceptable, mais qu'aucune f ne peut avoir toutes. )

    Je suis d'accord que ce n'est pas probabiliser $(\N, P(\N))$, mais par contre, vue sa démarche, ça me semblait pouvoir aussi l'intéresser.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • gerard0
    gerard0
    Matmax,

    les gens qui font de la théorie des nombres ont eu besoin de trouver un moyen de répondre à tes questions, car la répartition des nombres premiers a un aspect "hasard" très fort. Ils pratiquent ainsi :
    On fait le calcul sur un intervalle [1,n], puis on passe à la limite. Si cette limite existe, on l'appelle probabilité. De cette façon, les réponses à tes question a, b et c sont 1/5, 0 et 0.
    Je ne pense pas que l'on obtienne ainsi une "mesure de probabilité" au sens habituel. Mais c'est quoi, une probabilité ?

    Pour ta question sur x/y, on a le même problème avec les intervalles, et on peut essayer de pratiquer de la même façon. Intuitivement, x/y peut prendre de façon "équiprobable" toutes les valeurs et la probabilité que ce soit un rationnel serait 0 car l'ensemble des rationnels est de mesure nulle (je mélange intuitif et théorie de la mesure probabiliste).

    En fait, il existe de nombreux problèmes sur les probabilités continues (voir problème de Bertrand, par exemple), dont beaucoup sont réfutés par les probabilistes comme "non probabilisable", ou "modèle à définir". Ce qui n'est pas satisfaisant, mais les probas sont une science jeune (l'axiomatique de Kolmogorov na pas un siècle) et encore en fort développement.

    Cordialement.
  • christophe c
    christophe c
    Je ne pense pas que l'on obtienne ainsi une "mesure de probabilité" au sens habituel. Mais c'est quoi, une probabilité ?

    à Gérard: si jsutement à condition de prendre un ultrafiltre non principal comme limite, on attribue une probabilité à toute partie de $\N$ qui a les propriétés attendues par matmax.

    Précisément, si W est un ultrafiltre non principal, l'application qui envoie $A\subseteq \N$ sur la limite de l'image de l'ultrafiltre W par la fonction $n\mapsto card(A\cap n)/n$ est une probabilité sur $\N,P(\N))$ (non sigma-additive :D ).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Cela dit, je précise quand-même pour Matmax (ce qu'on raconte ne le laisse pas supposer): on va pas en prison si on n'attribue une probabilité qu'à certaines parties de l'univers et pas à toutes, c'est une autre choix.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • JLT
    JLT
    L'ennui c'est qu'il n'y a pas d'ultrafiltre canonique (:D
  • christophe c
    christophe c
    En fait, pour faire plaisir à Gérard, on peut même prouver (modulo des grands cardinaux, qu'il est consistant avec ZF qu'il n'existe pas de probabilité sur lN qui mesure toutes les parties de IN et attribue la probabilité 0 aux ensembles finis.

    En particulier c'est une conséquence de l'axiome AD (voire fil forcing), on s'en rend compte en jouant au jeu suivant: à chaque tour, chaque joueur a la droit de mettre dans son panier autant d'entiers qu'il veut, mais un nombre fini. A la fin (au bout de IN coups), c'est celui qui a le plus gros panier qui gagne (au sens de la supposée probabilité).

    Un tel jeu ne serait pas déterminé.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • MathMax0
    MathMax0
    Aïaïaï, ce n'est pas toujours évident de vous suivre, surtout à cette heure.

    Je vais réfléchir à ce que vous m'avez écrit et y revenir dans les prochains jours.

    MERCI!!
  • raphayel
    raphayel
    Bonjour

    D'autres personnes non-probabilistes m'ont déjà posé ces questions, c'est vrai qu'il y a un certain intêret à se les poser.

    Je pense que c'est clair d'après les posts précédents qu'il n'existe pas de réponse formelle précise à tes questions, ceci dit je vais te dire comment SELON MOI, les probabilités y répondent:

    1) Tu calcules tes probabilités sur $[-N,N]$, et tu regardes les probas qui t'intéressent quand $N$ tend vers l'infini (multiple de 5, =3, etc...).


    2) Si tu ne veux pas de suite ou d'approximations car c'est moins joli, tu considères l'ensemble des processus ergodiques (donc stationnaires) sur $\mathbb{N}$ (là il faut aller voir la biblio, n'importe quel bouquin sur les processus ponctuels devrait faire l'affaire). Ces processus ont quelques propriétés qui devraient t'intéresser:

    - Quand tu regardes la "proportion de points" (sous-entendu sur une fenetre qui grandit) qui vérifient certaines propriétés (multiple de 5, =3, etc...), tu tombes sur ce que tu voulais.

    -Meme s'il y a plein de processus ponctuels ergodiques, en général ils vérifient assez bien tous ces propriétés.

    -En fait c'est un peu la définition d'un processus ergodiques: "la moyenne en temps est égale à la moyenne en espace" (mais je ne vois pas comment expliquer plus clairement).

    Selon cette méthode la proportion de nombre premiers va tomber à $0$ je pense, mais rien ne t'empêche de considérer d'autres processus ponctuels et de calculer la proportion qui t'intéresse...

    Le processus ponctuel par excellence avec qui tu t'entendras très bien je pense est le processus ponctuel de Poisson, tu peux commencer par là.

    J'espère que c'est à peu près clair
  • Steven Neutral
    Steven Neutral
    cc,
    Je connais un probabiliste américain qui s'est fait faire une boucle de ceinture avec une gravure : "Additive only" (c'est sa tasse de thé en recherche).
  • MathMax0
    MathMax0
    Merci raphayel,

    L'idée de passer à la limite si N tend vers l'infini me parait claire et intuitive (si on travaille sur les entiers, mais au-delà ???).

    Pour les processus ergodiques, je vais voir dans les bouquins pour me faire une idée.

    Merci pour toutes ces pistes de réflexion!
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