probabilité, tirage sans remise

Salut,

On conserve dans un tiroir une paire de chaussures noires et une paire de chaussures rouges. On tire, successivement, et sans remise, une chaussure du tiroir jusqu'à ce que le tiroir soit vide. On note X la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la deuxième chaussure noire.
Je note Nd, Ng, Rd et Rg respectivement la chaussure noire droite, ...

1) Déterminer les différentes valeurs de $X$
2) Déterminer la loi de la probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique.

J’interprète la deuxième chaussure noire comme étant la dernière chaussure noire restante qui sort.

Mes réponses :

1) $X \in \{2,3,4\}$

2) Je note $\Omega$ l'ensemble des possibilités. J'ai $card(\Omega)=4\times 3\times 2 \times 1=24$

je trouve $P(X=2)=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}$ car il n'y a que deux possibilités : $(Nd,Ng,Rd,Rg)$, $(Ng,Nd,Rd,Rg)$, $(Nd,Ng,Rg,Rd)$, $(Ng,Nd,Rg,Rd)$

Est-ce correct ?

Si oui, y a-t-il une méthode plus rapide pour calculer $P(X=3)$ et $P(X=4)$ ?

Merci