Probabilité d'un range

Bonjour à tous,

Voici un petit problème de proba. Soient $X_1, \ldots, X_n$ n variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur [0, T]. Je recherche la probabilité que le range de ces variables soit contenu dans un sous-segment de [0, T], par exemple [0, k]. Autrement dit, je cherche à calculer la proba :
$$\mathbb{P}(\max_{\left[0, T\right]}{X_i} - \min_{\left[0, T\right]}{X_i} \leq k)\text{avec}k \in \left[0, T\right]$$
J'ai pensé à calculer la densité des variables $\max X_i$ et $\min X_i$ et d'utiliser la formule de convolution pour calculer la densité de la somme, mais cette formule s'applique que si les variables sont indépendantes. Comment est-ce que vous procéderiez ?

Merci d'avance,
Mark

Réponses

  • Bonsoir,

    Le range d'une uniforme sur $[0,1]$ suit une loi Beta de paramètres $n-1$ et $2$. On en déduit alors le résultat recherché.

    Amicalement,
  • Bonjour.

    Le mot anglais "range" (en français, range est un verbe, pas un substantif) se traduit dans ce cas par le mot simple du vocabulaire statistique : "étendue".
    Il a aussi le sens d'intervalle de valeurs, d'intervalle de variation.

    Cordialement.
  • @Kuja, merci pour l'information. C'est fou d'obtenir une loi aussi compliquée (avec les fonctions gamma) à partir de la loi uniforme qui est la plus simple qui soit. Est-ce que la démonstration est compliquée ?

    @gerard0 : merci pour ces précisions linguistiques. :) Honnêtement, je ne connaissais pas la traduction de "range" en français, mais je n'ai jamais vu utiliser le terme "étendue" en statistiques.
  • "mais je n'ai jamais vu utiliser le terme "étendue" en statistiques"

    C'est parce que tu as travaillé tout de suite avec des statistiques complexes. C'est un terme courant en statistiques descriptive, enseigné au lycée, puis en Dut et BTS ainsi que L1 sciences éco ou AES. Il est donné dans le vocabulaire normalisé AFNOR, et très utilisé en statistiques industrielles pour estimer l'écart type.

    Quel dommage que les gens avec qui tu fais des statistiques ne parlent pas français !

    Cordialement.
  • Au temps pour moi, je ne suis pas statisticien... C'est quand même curieux de rencontrer un ayatollah de la langue sur ce genre de forum. :) Mais si tu as une solution élégante pour répondre au problème, je suis preneur.
  • Oh, ayatollah ...

    peut-être pas. Mais les littéraires se targuent d'être nuls en maths, ce n'est pas une raison pour que les scientifiques n'utilisent pas les possibilités du français. Le mot "étendue" étant particulièrement clair, je trouve dommage de lui substituer un mot anglais, de même que je trouve un peu cuistre l'utilisation de "trend" pour la tendance.
    Par contre, dans un article en anglais, ces mots sont à leur place.

    Pour la loi béta, je ne connais pas la preuve, je ne suis pas spécialiste de ce genre de questions. Par contre, la loi uniforme est une loi Béta(1;1).

    Cordialement.
  • Bonjour,

    Si tu notes $(X_{(i)})$ tes $n$ variables aléatoires réordonnées, alors tu peux montrer que les va $(X_{(i+1)}-X_{(i)})$ sont indépendantes, et ont même loi.
    Le range, dont tu parles, est la somme de ces va. Je pense que tu peux alors, peut-être par récurrence, trouver la loi de ton range (convolution de $n-1$ lois).

    Bon courage !
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