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Chères amies, chers amis du forum

Je souhaite vérifier un calcul avec votre aide:

Soit $S$ de dynamique :
\[ dS_t=S_t(bdt + \sigma W_t) \quad \text{et}\quad \overline{S_t} = \exp\left(\frac{1}{T}\int_0^t\log(S_s)ds\right).\]
Je dois trouver la dynamique de $\overline{S_t} $.
Je trouve par Ito :
\[d\overline{S_t} = \frac{1}{T}\log S_tdt\exp\left(\frac{1}{T}\int_0^t\log(S_s)ds\right)\] avec : $\displaystyle \frac{\partial \overline{S_t}}{\partial t} = \frac{1}{T} \log S_t \exp\left(\frac{1}{T}\int_0^t\log(S_s)ds\right),\quad \frac{\partial \overline{S_t}}{\partial S} = 0$ et\quad $\displaystyle \frac{\partial^2 \overline{S_t}}{\partial S^2}= 0$.
Merci