résolvante d'un opérateur

seub
seub
dans Analyse
Bonjour,

ll paraît que le résidu de la résolvante d'un opérateur en une valeur propre isolée est un projecteur spectral (projecteur sur le sous-espace caractéristique?)

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi?

Merci d'avance!

Réponses

  • XouYauchoix
    XouYauchoix
    Désolé pour le pourrissage du fil: Devant une telle phrase je reste ému, après une école d'ingé et deux M2 de maths il y'a encore des phrases dont je comprends RIEN... alors qu'elle traite à priori d'un sujet qui n'est pas très éloigné du mien.
  • skyrmino
    skyrmino
    Bonjour,

    Le mieux au départ est de se convaincre que ça marche bien pour une matrice $n\times n$. Après il s'agit de généraliser en dimension éventuellement infinie.
    Si $A$ est une matrice $n\times n$ de spectre $\lambda_1,...,\lambda_q$, alors pour $\lambda$ tel que $|\lambda|\geq a$, où $a$ est plus grand que n'importe quel $|\lambda_i| $, $$R_\lambda=(A-\lambda Id)^{-1}=-\frac{1}{\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{\lambda^k}A^k.$$
    $R_\lambda$ étant une fraction rationnelle ayant pour pôles $\lambda_1,...,\lambda_q$, on a $$-\frac{1}{2\pi i}\int_{|\lambda|=a}\lambda^mR_\lambda d\lambda=A^m, m\in\mathbb{N}.$$
    On a alors pour $f$ une fonction définie par une série convergente pour $|\lambda|\leq a$, que $-\frac{1}{2\pi i}\int_{|\lambda|=a}f(\lambda)R_\lambda d\lambda=f(A)$.
    Par déformation du contour $|\lambda|=a$ de telle façon à entourer chaque valeur propre, on obtient $\sum_{k=1}^q P_k=Id$, où $P_k=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_k^-}R_\lambda d\lambda$, avec $C_k^-$ un contour entourant dans le sens négatif seulement la valeur propre $\lambda_k$.

    Pour montrer que $P_k^2=P_k$, il faut utiliser l'équation de la résolvente.
    sk.
  • seub
    seub
    @XouYauchoix : n'est-il pas excitant qu'il reste plein de choses à découvrir? ;)

    @skyrmino : Merci pour ta réponse!

    Cependant, elle ne me convient qu'à moitié (et encore) pour être très honnête. Déjà il y a quelques points que j'ai besoin d'éclaircir, je devrais y réfléchir moi-même plutôt que de te solliciter de nouveau, mais peut-être seras-tu assez aimable pour me faire gagner du temps:

    1. Tu donnes une expression de $R_\lambda$ (avec une série), mais t'en sers-tu dans la suite?
    2. Tu dis : "$R_\lambda$ étant une fraction rationnelle ayant pour pôles $ \lambda_1,...,\lambda_q$", je vois plus ou moins pourquoi, mais peux-tu donner une explication convaincante?
    3. Tu dis : "on a $$-\frac{1}{2\pi i}\int_{|\lambda|=a}\lambda^mR_\lambda d\lambda=A^m, m\in\mathbb{N}.$$", pourrais-tu expliquer pourquoi?
    4. Tu dis : "On a alors pour $ f$ une fonction définie par une série convergente pour $ \vert\lambda\vert\leq a$, que $ -\frac{1}{2\pi i}\int_{\vert\lambda\vert=a}f(\lambda)R_\lambda d\lambda=f(A)$". Très bien, mais j'ai l'impression que dans la suite tu n'utilises que le cas où $f$ est la fonction constante $Id$. Ne suffisait-il pas d'énoncer l'égalité précédente pour $m=0$?
    5. Tu dis "Pour montrer que $ P_k^2=P_k$, il faut utiliser l'équation de la résolvente." C'est-à-dire?

    D'autre part, si je comprends bien tu n'as donc ni montré que $P_k$ était un projecteur (et parallèlement à quoi), ni que son image était le sous-espace caractéristique, alors en quoi réponds-tu à ma question?

    Enfin, je voudrais vraiment savoir ce qu'il se passe en dimension infinie, au cas où toi ou quelqu'un d'autre connaît un énoncé précis. Par exemple, est-il vrai de dire :
    "Soit $A$ un opérateur (borné?) et soit $\lambda$ une valeur propre de $A$. Alors le résidu de la résolvante en $\lambda$ est le projecteur sur le sous-espace caractéristique associé à $\lambda$ parallèlement aux autres sous-espaces caractéristiques."
    Cette question en amène deux subsidiaires :
    a) Est-il toujours vrai que l'espace total est somme directe des sous-espaces caractéristiques?
    b) Les résidus et tout (le théorème des résidus...) sont-ils bien définis et fonctionnent-ils toujours pour les fonctions holos de la variable complexe à valeur dans un Banach?


    Désolé de vous assassiner de questions, vraiment je n'y connais pas grand-chose en analyse fonctionnelle...
  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bonne nuit,

    Je peux seulement te rassurer pour ta question 5) b): oui, tout marche comme sur des roulettes. Cauchy, Taylor, Laurent, Liouville, résidus, ... Il suffit de remplacer |.| par ||.||.
    Pour le reste, j'ai beaucoup oublié (la théorie spectrale était mon premier domaine de recherche, il y a plus de 40 ans). Tu trouveras ce que tu veux dans A. Taylor Introduction to functional analysis J. Wiley ed. (1967), qui est simple et riche (normal: "My taylor is rich"). Vers la page 300 (*).

    Bien cordialement.

    (*) Je viens de vérifier, ce n'est pas un souvenir.
  • remarque
    remarque
    Pour 2., $R_\lambda$ est l'inverse d'un polynôme en $\lambda$ (à valeurs opérateurs) qui n'est pas défini sur le spectre. C'est raisonnable de l'appeler fraction rationnelle, et si le spectre est formé d'un nombre fini de valeurs propres, d'appeler celles-ci ses pôles.

    Pour 3. Utilise la série et applique les deux membres à un vecteur $v$, composante par composante.* C'est la formule de Cauchy.

    Pour 4. Oui, mais avec $f(\lambda)=1$, pas $Id$.

    5a, non, il se passe des trucs quand le spectre contient du spectre continu ce me semble. Un point de départ possible. Tu peux également regarder dans Dautray-Lions.

    * Edit, ou directement, puisqu'on est en dimension finie, composante par composante des matrices, ce qui revient au même.
  • seub
    seub
    Merci pour vos réponses!

    @CdP: ok, merci!

    @remarque:
    -Pour le 2., je crois que tu te trompes, je peux te dire pourquoi mais je pense qu'en y reréfléchissant tu seras d'accord?
    -Pour le 3, ok, je vais y réfléchir, je vois bien que la valeur du membre de gauche c'est la somme des résidus (ou le résidu à l'infini) d'après la formule de Cauchy, mais je ne voyais pas comment conclure.
    -Pour le 4, oui tu as raison.
    -Pour le 5, ok, je vais essayer de regarder.
  • BlackBird0
    BlackBird0
    Bonjour.

    Regarde le Dunford-Schwartz, c'est fait dedans.
  • seub
    seub
    ok, merci! (désolé pour cette réponse tardive)
  • BlackBird0
    BlackBird0
    De rien.

    J'avais posé la même question sur le forum, il y a quelques semaines, mais je n'avais pas rencontré le même succès que toi. :D

    Lien
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