Positivité dans lemme de Gronwall

Bonjour

Dans la démonstration du lemme de Gronwall, à part $\psi$, je ne vois pas en quoi intervient la positivité de $\phi$, et de $y$.

Je rappelle ce lemme :

Soit $\phi,\psi$ et $y$ trois fonctions continues sur un segment $[a,b]$, à valeurs positives et vérifiant l'inégalité :
$\displaystyle \forall t\in [a,b],\ y(t)\leq \phi(t)+\int_{a}^{t}\psi(s)y(s)ds$.
Alors
$\displaystyle \forall t\in [a,b],\ y(t)\leq\phi(t)+\int_{a}^{t}\phi(s)\psi(s)\exp\left(\int_{s}^{t}\psi(u)du\right)ds$.

Je ne vois vraiment pas pourquoi. J'ai plutôt l'impression que $\phi$ peut être de signe quelconque et $y$ aussi.

Quelqu'un pourrait-il , le cas échéant, pourquoi cela n'est pas vrai ?

Merci pour votre aide.