Annulation d'une intégrale
Bonjour,
On suppose que $f \in C^0([0,1],\R)$ et que $\int^1_0 f(t) dt = 0$. Comment montrer qu'il existe $c \in ]0,1[$ tel que $\int^c_0 tf(t)dt=0$. J'essaye de commencer par traiter le cas d'une fonction en escalier (qui présente évidemment le mauvais goût de ne pas être continue...). J'arrive à montrer le résultat si la dite fonction en escalier présente deux paliers... mais pas à aller plus loin.
Auriez-vous des idées sur le sujet?
On suppose que $f \in C^0([0,1],\R)$ et que $\int^1_0 f(t) dt = 0$. Comment montrer qu'il existe $c \in ]0,1[$ tel que $\int^c_0 tf(t)dt=0$. J'essaye de commencer par traiter le cas d'une fonction en escalier (qui présente évidemment le mauvais goût de ne pas être continue...). J'arrive à montrer le résultat si la dite fonction en escalier présente deux paliers... mais pas à aller plus loin.
Auriez-vous des idées sur le sujet?
Réponses
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Vu de loin et avec des souvenirs brumeux j'ai l'impression que cela ressemble à la deuxième formule de la moyenne (c'est peut-être même une application de cette formule avec un bon choix de fonctions). Je ne m'en suis jamais servi.
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Bonne nuit,
Par contradiction ? Avec le théorème des AF ? Mais je ne sais pas le faire (et n'ai pas envie de chercher). Bon courage.
Bien cordialement. -
J'y ai passé un bon quart d'heure et malheureusement rien ne vient. Pourtant ca n'a pas l'air bien dur. En tout cas je suis presque sur qu'il faut utiliser la fameuse formule $f=f^+ + f^-$, et utiliser une contraction. J'espère qu'une tête bien faite passera par là.
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Bonne nuit,
Peut-être qu'au lieu de fonctions en escalier il vaut mieux examiner les polynômes ?
Ou chercher second théorème de la moyenne dans Arnaudiès ou autre gros bouquin ?
Bien cordialement. -
Ca me parait faux, en prenant $f(x)=\cos (\pi x).$
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Sur le moment ça m'avait l'air vrai et relativement simple pour des fonctions positives puis négatives (ou l'inverse). Personne n'a regardé du côté de la deuxième formule de la moyenne ?
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Si c'est faux, $f(x)=\cos(\pi x)$ n'est pas un contre-exemple. La primitive de $tf(t)$ qui s'annule en $0$ est $F(x) = \frac{x}{\pi} \sin(\pi x) + \frac{1}{\pi^2}(\cos(\pi x)-1)$et l'on a $F(1/2) >0$ et $F(1) <0$.
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Salut,
Si on appelle $F$ la primitive de $f$ qui s'annule en 0, alors $\int_0^xtf(t)dt=xF(x)-\int_0^xF(t)dt$.
Ça me donne terriblement envie de considérer la fonction $x\mapsto\frac{1}{x}\int_0^xF(t)dt$... -
J'ai essayé de suivre ton envie, mais sans grand succès...
Je considère le cas particulier où $f$ s'annule un nombre fini de fois en $t_1 < ... < t_{n-1}$ et je pose $t_0=0$ et $t_n=1$. Supposant $f$ positive sur $[t_0,t_1]$ puis changeant de signe en $t_1,...,t_{n-1}$, on est amené à considérer le problème discret suivant.
Soient $\alpha_0, ... , \alpha_{n-1}$ des réels de signes alternés dont le premier est positif et $0 < \beta_0 < ... < \beta_{n-1} < 1$. Peut-on avoir:
$\alpha_0 \beta_0 >0$
$\alpha_0 \beta_0 + \alpha_1 \beta_1>0$
$...$
$\alpha_0 \beta_0 + ... + \alpha_{n-1} \beta_{n-1}>0$
avec $\alpha_0 + ... + \alpha_{n-1} =0$
La réponse est non si $n=1$. Sauriez-vous montrer que la réponse est toujours négative? J'essaye par récurrence.
Il faudrait ensuite passer au cas général d'une fonction continue... qui peut-être beaucoup plus compliquée que le cas décrit ici. -
Pardon d'avoir fait une erreur de signe et dit des b\^etises. Ce que tu annonces est correct. Soit $F(x)=\int_0^xf(t)dt.$ On a donc par intégration par parties
$$\frac{1}{x}\int_0^xtf(t)dt=G(x)=F(x)-\frac{1}{x}}\int_0^xF(t)dt$$
et on veut montrer qu'il existe $0<x_0<1$ tel que $G(x_0)=0.$ Supposons que ce soit faux. Sans perte de généralité on suppose $G(x)>0$ pour tout $0<x<1.$ (Si $G<0$ il suffirait de remplacer $f$ par $-f).$ Sans perte de généralité on suppose aussi $f$ non identiquement nul. Alors ou bien $F(x)\geq 0$ pour tout $x$ et dans ce cas $G(1)\geq 0$ entraine $\int_0^1F(t)dt\leq F(1)=0,$ et donc $F\equiv 0$ aussi bien que $f\equiv 0.$ Ou bien il existe $x_1\in (0,1)$ o\`u $F$ atteint son minimum $<0.$ Comme $G(x_1)>0$ on en tire l'existence par la formule de la moyenne d'un nombre $c\in [0,x_1]$ tel que
$$\frac{1}{x_1}}\int_0^{x_1}F(t)dt=F(c)<F(x_1)$$ ce qui est une contradiction. -
C'est joli! Merci.
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Très joli même, je suis dégouté de ne pas avoir trouvé. J'ai bien utilisé les mêmes quantités mais j'avais tendance à intégrer le tout ce qui me faisait perdre toute information locale.
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Un petit coup de Rolle à la fonction que j'ai suggérée permet également de conclure...
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$G(x)=\int_{0}^{x}(x-u)f(u)du$ , $G'(0)=G'(1)=0$ on peut appliquer le théorème de Flett
http://www.math.sc.edu/\~{}girardi/m555/current/hw/MVT-Flett.pdf
Il existe un réel $c \in ]0;1[ $ avec $G(c)-G(0) = c.G'(c)$ c'est à dire $\int_{0}^{c}uf(u)du=0$
[Changement du lien, selon ton indication. AD] -
Merci pour ce théorème que je ne connaissais pas. Le lien suivant en donne une animation : http://demonstrations.wolfram.com/FlettsTheorem/
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Bonjour!
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