Intégrales curvilignes

paspythagore
paspythagore
dans Analyse
Bonjour

Je n'ai pas su résoudre l'intégrale suivante par Green-Riemann : $\displaystyle\iint\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\displaystyle\int_\gamma P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$

Soit $\Gamma$ la courbe fermée dans le sens direct, constituée des deux portions de courbe comprises entre les points d'intersection de la droite $y=x$ et $y=x^2 $.
Calculer $\displaystyle I=\int_\gamma \left(y+xy\right)\mathrm{d}x$\qquad $\displaystyle\iint_D -x \mathrm{d}x\mathrm{d}y$
Mais comment représenter $D$ ?
$\displaystyle\int_0^1\ds\int_0^x -x \mathrm{d}x\mathrm{d}y+\ds\int_0^1\ds\int_0^{x^2}-x \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ?
Est-ce bien Green-Riemann ?
Merci de votre aide.

Réponses

  • Bu
    Bu
    Holà ! Où vas-tu ?

    1°) Tu dois pouvoir calculer la première intégrale $I$ sans trop de problème. Deux arcs de courbe faciles à paramétrer !

    2°) Avec Green-Riemann, $I$ est égale à une intégrale double sur $D$ (tu n'as pas dit qui c'est, mais c'est sans doute le domaine délimité par $\Gamma$ ?). Quelle intégrale double ?

    3°) Compare l'intégrale double obtenue au 2°) avec celle que tu as à calculer. Que te manque-t-il ? Peux tu calculer le bout qui manque ?
  • ev
    ev
    Bonjour Papy,

    Je ne comprends pas bien moi non plus.
    Tu cherches à calculer $I=\displaystyle\int_\gamma \left(y+xy\right)\,\mathrm{d}x$
    Autrement dit tu as $P = y+xy$, donc que vaut $\dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y} = $ ?
    Cette intégrale curviligne est à la portée de Christophe, c'est bêtement
    $$\int_0^1 (t^2+t^3) \,\mathrm{d}t - \int_0^1 (t+t^2) \,\mathrm{d}t.$$
    Je ne vois pas pourquoi tu viens déranger Green et Riemann.

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Bu
    Bu
    C'est bien, ev, tu as l'air de savoir faire le 1°). ;)
  • paspythagore
    paspythagore
    Merci.
    Bu a écrit:
    1°) Tu dois pouvoir calculer la première intégrale $ I$ sans trop de problème. Deux arcs de courbe faciles à paramétrer !
    L'exercice que je dois résoudre demande de le faire avec Green-Riemann.
    Bu a écrit:
    2°) Avec Green-Riemann, $ I$ est égale à une intégrale double sur $ D$ (tu n'as pas dit qui c'est, mais c'est sans doute le domaine délimité par $ \Gamma$ ?).
    Oui.
    ev a écrit:
    Autrement dit tu as $ P = y+xy$, donc que vaut $ \dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y} = $ ?

    $ \dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y} =-x $

    Mais après pour les bornes de mon intégrale double, je ne sais plus.
  • XouYauchoix
    XouYauchoix
    Les deux questions à se poser:

    $x$ appartient à quoi?
    Pour chaque $x$ fixé, $y$ appartient à quoi?

    Représente toi le domaine sur un plan et ca deviendra plus clair
  • ev
    ev
    J'essaye encore~:

    $ \dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y} = $ ?

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Bu
    Bu
    Est-ce que ton énoncé te demande de calculer $ \displaystyle\iint_D -x \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ? C'est ce que j'avais compris, mais finalement ce n'est pas clair.
  • paspythagore
    paspythagore
    XouYauchoix a écrit:
    Les deux questions à se poser:

    $ x$ appartient à quoi?
    Pour chaque $ x$ fixé, $ y$ appartient à quoi?

    Représente toi le domaine sur un plan et ca deviendra plus clair
    $x\in[0,1], y\in[0,x]$ et $x\in[0,1], y\in[0,x^2]$

    Pour le dessin, je vois ce que ça donne, l’énoncé est clair.

    $I=\displaystyle\int_0^1\displaystyle\int^x_0 -x \mathrm{d}x\mathrm{d}y-\displaystyle\int_0^1\displaystyle\int^{x^2}_0 -x \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

    Je ne comprends pas ce qu'il y a de faux dans : $ \dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y} =-x $ avec $ I=\displaystyle\int_\gamma \left(y+xy\right)\,\mathrm{d}x$
  • ev
    ev
    Ben calcules $\dfrac{\partial P}{\partial y} $ pour commencer...

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • paspythagore
    paspythagore
    J'ai oublié le $1$, $ \dfrac{\partial Q}{\partial x} -\dfrac{\partial P}{\partial y} =-1-x $
  • ev
    ev
    Tout d'un coup, c'est plus propre ! Maintenant l'intégrale double. C'est de la géométrie, donc ça mérite un dessin.

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • paspythagore
    paspythagore
    Le fameux dessin :
  • ev
    ev
    Bonsoir Papy,

    Vu que je t'ai donné l'expression de l'intégrale curviligne par le calcul direct et que cette intégrale double n'est pas trop dure à calculer - que même Christophe y arriverait c'est tout dire - tu dois avoir un élément de réponse.

    Et la réponse est...

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • paspythagore
    paspythagore
    Bonjour,

    $ I=\displaystyle\int_0^1\displaystyle\int^x_0\left(-1 -x\right) \mathrm{d}y\mathrm{d}x-\displaystyle\int_0^1\displaystyle\int^{x^2}_0\left(-1 -x\right) \mathrm{d}y\mathrm{d}x.$

    c'est ce résultat sur le quel je m'interroge (s'il est juste). C'est le premier exercice avec Green-Riemann où la fonction n'est pas exprimée en polaires.

    Il suffit donc de faire la différence des aires sur $x\in[0,1]$ délimitées par $x=0$ et $y=x$ d'une part et par $x=0$ et $y=x^2$ d'autre part pour trouver les bornes, Green-Riemann "donnant" la fonction à intégrer ?
  • paspythagore
    paspythagore
    Bonjour,

    avec quel logiciel travaille t-on pour les graphiques soient lisibles sur ce forum. A priori, pas Geogebra ?
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