classe d'une fonction à plusieurs variables

Qui a dit ça?

Est-elle $C^{\infty}$ sur $ \{(0,0)\}$ ?

Tout dépend quelle définition tu choisis pour "f dérivable sur A" parmi:

1) $\forall a\in A\exists b\in \R \forall e>0\exists r>0\forall h\in ]-r,+r[\forall y,z:$ si $h\neq 0$ alors si $(a,y)\in f$ alors si $(a+h,z)\in f$ alors $|b-(z-y)/h|\leq e$

2) $\forall a\in A\exists b\in \R \forall e>0\exists r>0\forall h\in ]-r,+r[\exists y,z:$ si $h\neq 0$ alors $(a,y)\in f$ et $(a+h,z)\in f$ et $|b-(z-y)/h|\leq e$

en se rappelant que "f(x)" est un abus de langage qui abrège "l'au plus un y tel que $(x,y)\in f$"

Bonne nuit,

@ mathematiques_ La réponse est définitivement OUI !
Pour calculer ton accroissemment f(a + h), il faut que a + h soit dans le domaine de définition, c'est-à-dire que a + h doit être dans une boule (de rayon non nul œuf corse) de centre a aussi petite que tu veux (*) (la distance de Planck, disons !).
Si sous cette forme tu ne vois pas, prend la dérivée de Gâteaux (directionnelle): f(a + th) doit être définie pour tout h € E mais pour tout t dans un voisinage de 0. Ce qui impose encore l'existence d'une boule ...
Comme tu veux pouvoir faire ça en tout point de ton ensemble de définition, il faut que celui-ci soit ouvert.

Bien cordialement.

(*) Aussi petite que tu veux, (mais de rayon non nul). C'est pourquoi on dit que la dérivation est une notion locale (comme la continuité, d'ailleurs).