Equation différentielle et moyenne

Bonjour,
je suis en stage en mécanique des fluides et j'aurais besoin d'un petit coup de main mathématique !
J'ai l'équation suivante qui régie la hauteur d'un film d'huile soumis à un écoulement :

$\frac{d h}{d t} + \tau \frac{d h²}{d x} = 0$ avec $\tau(t)$ et $h(x,t)$

On cherche à exprimer $\tau$ en fonction de $h$ qu'on connait par interférométrie.
Le film d'huile commence en $x = 0$ et finit en $X$.

Il existe une solution simple par séparation des variables si le frottement $\tau$ est supposé constant : $\tau = \frac{x}{(t + \alpha) h}$ avec $\alpha$ bien choisi pour la condition aux limites (inverse de la pente du film à l'origine à $t = 0$ donc il est vraiment petit).

Mon problème : $\tau$ dépend du temps. On peut le décomposer sous la forme $\tau = \overline{\tau} + \tau'$. Je cherche à montrer que la solution est encore valide avec $\overline{\tau}$, ce qui me semble possible car par interférométrie on fait des moyennes à la fois spatiales et temporelles.

Voici la procédure de l'expérience : on prend une série de cliché (une par seconde disons), sur lesquels on calcule l'interfrange moyen (la différence de hauteur entre 2 interfranges est $\Delta h$ et est une constante). On fait ensuite le graphe de l'évolution des interfranges par rapport au temps et on calcule grâce aux moindres carrés la meilleure droite. Appelons $P_I$ son coeff directeur. C'est ici qu'on peut faire intervenir une moyenne temporelle je pense en écrivant

$P_I = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}{\frac{d I}{d t}dt}$

Comme l'interfrange moyen au temps t est $I = \frac{\Delta h X}{h(X,t)}$, il vient dans le cas où $\tau$ est constant avec $T$ le temps de l'expérience : $\tau = \frac{P_I}{\Delta h} = - \frac{1}{T} \int_{0}^{T}{\frac{X}{h(X,t)^2}\frac{d h(X)}{dt}dt}$.

Voici où j'en suis de ma réflexion :
On peut écrire : $\overline{\tau} = - \frac{1}{T} \int_{0}^{T}{\frac{1}{h(X,t)²} \int_{0}^{X}{\frac{d h}{d t}dx}dt}$.

Ce qui reviendrait à montrer que $\int_{0}^{X}{\frac{d h}{d t}dx} = X \frac{d h(X)}{dt}$ ce qui est vrai seulement si $h$ ne dépend pas de $x$...

Où ai-je fait une erreur (je suis certain qu'il y en a quelques unes...) ?

Je vous remercie de votre aide !
Thomas