Moyenne de dérivées et moyenne de fonctions

Bonjour,

j'ai une question assez simple je crois.

Soit $f: \mathds{R}_{+}\rightarrow \mathds{R}_{+}$ une fonction strictement croissante et $f': \mathds{R}_{+}\rightarrow \mathds{R}_{+}$ sa dérivée telle que $f(0)=f'(0)=0$.

Soit $f_1, f_2,..., f_n$ une suite de fonctions de $\mathds{R}_{+}$ dans $\mathds{R}_{+}$ et $f_1',f_2',...,f_n'$ leurs dérivées associées également de $\mathds{R}_{+}$ dans $\mathds{R}_{+}$ telles que $f_i(0)=f_i'(0)=0$ pour tout $i$. Soit $p_1(x), p_2(x),...,p_n(x)$ des poids tels que pour tout $x$ $p_1(x)+p_2(x)+...+p_n(x)=1$, $p_i$ compris entre 0 et 1 au sens large pour tout $i$. On sait pour tout x que $$f'(x)=\sum_{i=1}^n p_{i}(x)f_{i}'(x)$$

Comme la dérivée de $f$ est une moyenne arithmétique des dérivées des $f_i$, peut-on conclure que $f$ est aussi une moyenne arithmétique des $f_i$ ?

Merci !