loi découpée

Steven Neutral · June 2011

Bonjour,

1) Soient $(X,Y)$ et $(X',Y')$ deux couples de v.a.\ et $\epsilon$ une v.a.\ de Bernoulli indépendante de $(X,Y,X',Y')$. On définit $W=X{\boldsymbol 1}_{\epsilon=0} + Y{\boldsymbol 1}_{\epsilon=1}$ et de même $W'=X'{\boldsymbol 1}_{\epsilon=0} + Y'{\boldsymbol 1}_{\epsilon=1}$. Si $W=W'$, est-ce que nécessairrement $(X,Y)$ a même loi que $(X',Y')$ ?

2) Soient $(X,Y)$ un couple de v.a.\ et $\epsilon$ une v.a.\ de Bernoulli indépendante de $(X,Y)$. On définit comme précédemment $W$. De même sur un autre espace : soient $(X',Y')$ un couple de v.a.\ et $\epsilon'$ une v.a.\ de Bernoulli indépendante de $(X',Y')$. On définit $W'=X'{\boldsymbol 1}_{\epsilon'=0} + Y'{\boldsymbol 1}_{\epsilon'=1}$. Si $W$ a même loi que $W'$, est-ce que nécessairrement $(X,Y)$ a même loi que $(X',Y')$ ?

Steven Neutral · June 2011

Ah non pour la 2) : la loi de $W$ est déterminée par les lois marginales de $X$ et $Y$. J'ai encore bogué !

XouYauchoix · June 2011

Bonjour,

Franchement ca m'interesse de savoir ce que vont répondre les spécialistes, car avec mes petits yeux et pour la $(1)$ c'est bien plus qu'une égalité en loi qu'il faut mais une égalité p.s (à cause de l'indépendance).

Si quelqu'un me sort un contre exemple, je lui offre un café quand il veut

Steven Neutral · June 2011

Personnellement j'ai appris à me méfier des intuitions avec ces choses-là. Tu fais donc bien de ne pas risquer plus qu'un café (:P)

Une remarque : Notons ${\cal B}=\sigma(X,Y,X',Y')$. Alors ${\cal L}(W \mid {\cal B}) = {\cal L}(W \mid X,Y)=\frac{1}{2}(\delta_X+\delta_Y)$. De même ${\cal L}(W' \mid {\cal B}) =\frac{1}{2}(\delta_{X'}+\delta_{Y'})$. On en déduit que $\{X,Y\}=\{X',Y'\}$.

Steven Neutral · June 2011

C'est simple comme bonjour, c'est pour ça que personne n'a répondu ?
Si $P(X\neq X')>0$ alors $P(W\neq W') \geq P(X\neq X', \epsilon=0')>0$.

loi découpée

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