X+X pas égal à 2X

Salut,

Pourquoi $X+X\neq 2X$ pour une variable aléatoire $X$ ?

Réponses

  • Essaie avec un dé à six faces.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • En fait j'aurais aimE avoir une explication plus detaillee. Avec une piece de monnaie on se rend compte que $X+X\neq 2X$. D'abord quand dit que deux varibales aleatoires $X,Y$ sont egales, que veut-on dire exactement?
  • Une variable aléatoire est une fonction, donc dire que deux variables aléatoires sont égales veut dire que deux fonctions sont égales.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • Avant toute chose, tu devrais chercher un cours sur les variables aléatoires et essayer de comprendre.
    L'égalité X+X=2X est vraie au sens presque sûr.
    En revanche, si X1 et X2 sont deux variables indépendantes de même loi que X, alors X1+X2 n'a pas forcément la même loi que X (et c'est ce dont tu parles).

    Ex: on lance un dé à 6 faces. On note X le n° obtenu. Alors X+X=2X, de façon évidente.
    On notera également que 2X est forcément un nombre pair.

    Maintenant on lance deux dés à 6 faces, on note X1 le n° sur le 1er dé, X2 le n° sur le 2ème dé.
    Alors X1+X2 est la somme des deux dés. Donc il est possible que X1+X2 soit égal à 5 (la probabilité que cela se produise vaut d'ailleurs 4/36). En revanche 2X ne peut pas être égal à 5, puisque c'est forcément un nombre pair. Donc X1+X2 et 2X n'ont pas la même loi.
  • Elles sont egales dans quelle sens??? Pour $X,Y:\Omega\rightarrow \R$, Je doute que $X=Y$ si $X(\omega)=Y(\omega)$ pour tout $\omega\in \Omega$. Sinon $X(\omega)+X(\omega)=2X(\omega)$.
  • Quel sens a l’addition de deux variables aléatoires ?
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • Il est hallucinant ce fil:D

    à Kito X+X=2X est pas seulement "vrai au sens presque sûr", mais tout simplement vrai, comme te le suggère NP, tout en te faisant languir.

    Une variable aléatoire est une simple et bête application de Omega (l'univers proba machinchouette) dans IR.

    Et 2X est l'application qui à chaque i de Omega associe le réel 2×X(i) qui est la même que l'application qui à chaque i de Omega associe X(i)+X(i)

    La loi d'une va n'a rien à voir avec tout ça. Deux va peuvent avoir même loi et être différentes, mais ça ne s'exprime pas avec le titre de ton fil.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Je pense que $X=Y$ si elles ont la meme loi. Dans ce cas si X est une var qui suit la loi Normale centrée réduite. Alors X et Y=-X ont la même loi, et par consequent $X=-X$ et donc $X+X=0\neq 2X$ mais je n'en suis pas trop sure.
  • Bonjour,

    ce qui n'est pas clair c'est le signe égal, au début du fil on dirait que c'est l'égalité de deux fonctions, puis il s'agit de l'égalité en loi de deux v.a.
    Dans le second cas on a pas : $\forall X,Y,Z : X =_{\mathcal L} Y \rightarrow X+Z=_{\mathcal L} Y+Z$ et ce en prenant comme vous le faites : $Y=-X$ et $Z=X$ (ici $=$ traduit l'égalité de fonctions) et $X=_\mathcal{L} \mathcal{N}(0;1)$.

    S
  • samok, c'est vrai, mais c'etait pas clair chez moi non au debut.
  • La question naturelle me semble: existe-t-il $X$ non constant tel que $\mathbb{P}_X*\mathbb{P}_X=\mathbb{P}_{2X}$ ?
  • Cette question, en avez-vous la réponse aléa ?

    Je suis un peu rouillé en probas : votre égalité est-elle équivalente à $\forall t \in \mathbb{R},\ \mathbold{P}(Z_1+Z_2 < t) = P(2Z_3 < t)$ où $Z_1, Z_2, Z_3$ sont identiques en loi ?

    S
  • samok écrivait:
    >Cette question, en avez-vous la réponse aléa ?

    J'ai une réponse partielle:
    Dans le cas où $X$ a un moment d'ordre deux, la réponse est non.
    Dans le cas général, je n'ai pas réfléchi mais je conjecture que c'est toujours non.

    > Je suis un peu rouillé en probas : votre égalité
    > est-elle équivalente à $\forall t \in \mathbb{R},\ \mathbold{P}(Z_1+Z_2 < t) = P(2Z_3 < t)$ où $Z_1,Z_2, Z_3$ sont identiques en loi ?

    (et indépendantes) : oui

    [Suppression de smiley indésirables. AD]
  • Pourquoi supposer l'indépendance ?

    S
  • A Aléa.

    Ça ne marche pas avec la loi de Cauchy ?
  • Damned, tu as raison !
  • @samok: si tu ne supposes pas l'indépendance de $Z_1$ et $Z_2$, on ne pas dire grand chose de la loi de la somme.
  • En supposant l'indépendance, la Cauchy est même la seule à avoir cette propriété parmi les lois stables.
    Sans indépendance et/ou sans stabilité en revanche, je ne sais pas (mais je suis curieux !).

    Amicalement,
  • @Kuja: sans indépendance : $X+X=2X$ (contrairement au titre du fil !)
  • Apparemment cette question n'est pas aussi triviale comme je le pensais.
  • En fait, si, Kito.

    C'est l'interprétation (malsaine) de la notation qui fausse tout.
    Si on a une seule variable aléatoire $X$, $X+X$ et $2X$ prennent les mêmes valeurs, car X ne prend qu'une seule valeur (comme toute fonction sérieuse).
    Par contre certains symbolisent par $X+X$ la situation suivante : On a deux variables $X_1$ et $X_2$ identiquement distribuées. On les note toutes les deux $X$ sous prétexte qu'elles ont la même loi, donnée par $X$, donc on note $X+X$ ce qui s'écrit $X_1+X_2$.
    Cet abus d'écriture amène des "nouveautés" malsaines comme celle qui a motivé ta question.

    Cordialement.
  • Bonjour,
    On peut illustrer le discours de Gérard avec une calculatrice ou un logiciel, en comparant rand()+rand() et 2rand().
    Bien cordialement,
    Christian
  • Merci beaucoup pour vos reponses.
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