Rafinement de l'inégalité de Jensen

raphayel
raphayel
dans Probabilités, théorie de la mesure
Salut

Jensen nous dit que $\mathbb{E}(N)^2 \leq \mathbb{E}(N^2)$. Je me demande si, quand $N>0$, le rapport de ces deux quantités tend vers $\infty$ quand $\mathbb{E}(N)\to 0$.

Plus précisément, si $N_n$ est une suite de variables positives telles que $\mathbb{E}(N_n)\to\infty$, a-t-on $$\frac{\mathbb{E}(N^2)}{\mathbb{E}(N_n)^2}\to\infty?$$ Avec Holder on peut montrer que oui si $\mathbb{E}(N^\epsilon)\leq A$ pour un réel $A$ et un $\epsilon>0$, mais dans le cas général, je ne sais pas et je n'ai pas non plus de contre-exemple...
Any idea ?

Réponses

  • egoroffski
    egoroffski
    Salut,

    $N_n=n$ ?
  • raphayel
    raphayel
    Oui c'est vrai :D

    En fait j'essayais de généraliser (betement) le problème où $N_n=N.1_{\{N\geq 1/n\}}$ (ou bien une troncature), c'est plutot ce cas-là qui est intéressant...
  • raphayel
    raphayel
    Je reformule: Existe-t-il $N>0$ telle que $\mathbb{E}(N)=\infty$ et $$\frac{\mathbb{E}(N.1_{\{N\leq n\}})^2}{\mathbb{E}((N.1_{\{N\leq n\}})^2)}$$ ne tende pas vers $0$?


    Cela revient à chercher $f>0$ sur $[0,1]$ telle que $\int_{0}^1 f(x)dx=\infty$ et $$\frac{(\int_{x>1/n}f(x)dx)^2}{\int_{x>1/n}f(x)^2 dx}$$ ne tende pas vers $0$.
  • egoroffski
    egoroffski
    Salut,

    Si N est d'espérance infinie, le numérateur et le dénominateur de ta première fraction sont tous deux infinis pour tout n ; quel sens donner à la fraction dans ce cas ?
  • raphayel
    raphayel
    @egoroffski
    Oui en effet je voulais dire $N\leq n$ (modifié dans le post).

    [Inutile de répéter le message précédent. AD]
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