distribution à partir d'espérances

Titre initial : Déduire une distribution à partir d'espérances

Bonjour,

J'ai un petit problème concernant un exercice. En fait je voudrais montrer que si $D$ est une variable aléatoire et $c, k$ et $n$ sont des constantes, si j'ai $$
\mathbb{E}\big[e^{-k \tfrac{c}{n} D }\big]=\mathbb{E} \left[ \frac{{n-k \choose X}}{{n \choose X}} \right]
$$ où $X$ est distribué sur $\{0,1,2,\ldots,n\}$, alors $X$ est de loi $ \mathcal Bin (n, 1-e^{-\tfrac{c}{n} D})$.
Il semblerait qu'il soit nécessaire d'utiliser les moments $\mathbb{E}[X(X-1)(X-2)\ldots (X-k+1)]$ d'une $ \mathcal Bin (n, p)$ mais je ne vois pas pourquoi et encore moins comment faire. Si quelqu'un peut m'éclairer...

Merci