parité

hilton
hilton
dans Arithmétique
Bonjour à tous
Le nombre 1+3n est il pair pour tout n ?
Merci d'avance !

Réponses

  • Amtagpa
    Amtagpa
    Bonjour,

    Oui. Tu peux regarder ton nombre modulo 2. Tu peux aussi développer 3^n=(1+2)^n avec la formule du binôme.
  • hilton
    hilton
    ok merci,je vais essayer ca!
  • gerard0
    gerard0
    Hilton,

    quelle est la parité de $3^n$ ?

    Amtapaga s'est amusé !

    Cordialement.
  • hilton
    hilton
    Ben oui jai remarqué pour amtagpa ;
    3^n est impair docn 1+3^n est pair (somme de deux nombres pairs)?
    mais pour rédiger proprement...
  • remarque
    remarque
    (somme de deux nombres pairs)?

    impairs : $(2k+1)+1$
  • hilton
    hilton
    oui c'etait impair
  • hilton
    hilton
    mais à part dire ca je vois pas trop comment rédiger ca... on a la somme de 2 nombres impairs on arrive A 2k nombre pair mais bon
    y a t il dautres méthodes??
  • remarque
    remarque
    Tu ne vois pas comment rédiger $(2k+1)+1$ ?
  • hilton
    hilton
    on arrive a 2k oui mais la rédaction n'est pas terrible; y a t il d'autres méthodes?
  • remarque
    remarque
    C'est sûr que si tu arrives à $2k$ à partir de $(2k+1)+1$, c'est pas terrible. Mais à part ce point de détail, je ne vois pas où est le problème.
  • hilton
    hilton
    sinon vous avez d'autres méthodes dans vos tiroirs??
  • capesard
    capesard
    > sinon vous avez d'autres méthodes dans vos tiroirs??
    le petit théorème de Fermat ?
  • Bafou
    Bafou
    Aller une autre méthode par récurrencielle.

    H de récuration:

    "1+3^n est pair pour tout n"

    C'est vrai pour n=0 car 1+3^0=2 (manifestement c'est pair et je ne peux améliorer la rédac).

    Supposons H vraie au rang n.

    Alors 1+3^n=2m pour un certain m

    Mulcitplicationnons par 3 il vient:

    3+3^(n+1)=6m et donc 1+3^(n+1)=6m-2=2(3m-1) encore pair.

    gagné.
  • hilton
    hilton
    jai fait ta methode bafou !! jai du mal avec Fermat par contre!!!
  • Bruno
    Bruno
    C'est un marteau pilon, mais il suffit de remarquer que $\Z/2\Z$ est un corps de caractéristique 2.

    Bruno
  • christophe c
    christophe c
    Ce n'est qu'un problème de rédaction que tu as?????

    Bin, tu dis:

    "pour tout entier $n$ non nul, $3^n$ est un nombre impair et donc $1+(3^n)$ est un nombre pair"

    après si tu as envie de justifier plus, il y a deux "axiomes" essentiels que tu as utilisés:

    1) que $\forall n\in \N: (n$ impair=>$n+1$ pair)
    2) $\forall n\in \N^*: 3^n$ est impair

    [size=x-small]Pour (1), par récurrence, tu prouves que si n est impair alors il existe k tel que n=2k+1 et donc n+1= 2 fois (k+1). Extrait: supposons que n=2p ou n=2p+1. Alors n+1=2p+1 (gagné) ou n+1=2 fois (p+1)

    Pour (2), idem par récurrence, pour tout n, (si n=2p+1 alors 3 fois n = [2 fois (3p+1)] +1), ce qui te donne par récurrence que "3^n impair =>3^(n+1) impair pour tout n>0.    [/size]

    Mais la partie bleue n'est jamais exigée dans les situations scolaires habituelles, la partie verte suffit comme remarque te l'a dit.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • plop0
    plop0
    Qu'est-ce qui te gène avec cette méthode en fait ? C'est trop court ? Pas assez calculatoire ? Une bonne rédaction n'est pas une rédaction où on tartine, c'est une rédaction qui donne toutes les étapes non considérées comme triviales/évidentes à ton niveau d'étude.

    Personnellement je le rédigerai comme cela : "Le produit de deux nombres impairs est impair ; par récurrence on en déduit qu'un produit (fini non nul !) de nombres impairs l'est encore ; par conséquent $3^n$ est impair ; ainsi $1+3^n$ est pair comme somme de deux nombres impairs".

    Mais je ne suis plus au lycée depuis longtemps et je n'y ai jamais enseigné... Je ne sais pas si on attend des détails sur la récurrence par exemple. Il me semble que dans les "petites classes" on cache ces récurrences, et que dans les "grandes classes" on les considèrent comme tellement triviale qu'on n'en parle jamais :)
  • christophe c
    christophe c
    on attend rien ou à peu près si tu veux savoir, on expose des récurrences normalement, par exemple que j'ai mises en petit ci-dessus seraient "officiellement" exposables.

    Mais même en L1 il y a 15ans, quand j'y enseignais l'exo (prouver que tout nombre non pair est suivi d'un nombre pair) n'était réussi en gros que par 1 étudiant sur 20 (dans le secondaire, j'ai dû le donner chaque année, sans succès, donc ca doit etre du 1/500 le taux de retour ... sur attente :D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • remarque
    remarque
    Pour ne pas faire de récurrence, il suffit de décréter que les nombres pairs sont les nombres de la forme $2k$ et les nombres impairs sont les nombres de la forme $2k+1$. :D

    Bon, il reste peut-être une récurrence pour montrer qu'on ne loupe aucun entier comme ça, mais pour l'exo présent, c'est récurrence-free !
  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bonne nuit,

    "Cachez cette récurrence que je ne saurais voir". (Mathartuffe)

    Bien cordialement.

    Nota. hilton n'est pas lycéen, il traîne sur le phörûm depuis la nuit des temps. :D
  • Blueberry
    Blueberry
    A-t-il un lien de parenté avec la délicieuse Paris Hilton ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français