Petite équation avec des modules

Clairon
Clairon
dans Algèbre
Bonsoir,

Si l'on vous demandait de résoudre l'équation $$\vert z + |z| \vert = 2$$
avec $z \in \mathbb C$, quelle tactique adopteriez-vous ?

[size=x-small] Je trouve que les solutions sont $\{z, \overline z\}$ avec $z = r e^{i(\pi - 2 \arcsin \frac{1}r)}$ et $r \geqslant 1$.
Mais peut-être ai-je tort...?[/size]

Réponses

  • chris93
    chris93
    Je passerais en coordonnées polaires pour essayer de trouver des relations sur le module et l'argument de $z$.

    Edit : Je trouve que, pour tout $\vert \rho \vert \geq 1$, $z=\rho .exp(2Arccos(\frac{1}{\rho}))$ est solution.

    Edit : Une petite coquille...
  • remarque
    remarque
    La tactique de la facilité !
    19115
  • remarque
    remarque
    Sinon, en élevant au carré un certain nombre de fois, on obtient l'équation $(x^2+y^2)x^2=(2-x^2-y^2)^2$, mais elle a une branche de trop...:-(
  • ev
    ev
    Bonsoir,


    Poser $z = x + iy$, élever au carré et ensuite passer en polaire, non ?

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • plop0
    plop0
    Le premier truc qui me vient à l'idée est plutôt de paramétrer l'ensemble des solutions. Pour tout $\theta \in [0,2\pi[$, on peut chercher les $z$ tels que $z+|z|=2e^{i\theta}$. L'interprétation géométrique est assez claire. La paramétrisation suit.
  • Clairon
    Clairon
    Bon, Monseigneur a encore frappé fort !

    En suivant les conseils d' e.v., j'arrive à $\rho (1 + \cos (\theta)) = 2$. J'aimerais voir cette jolie courbe avec Maple, mais je ne suis pas satisfaite de ce que j'obtiens (j'aimerais voir la même chose que remarque !). Peut-on rivaliser avec le Roi Grapher ?

    Amicalement,
    Clairon.
  • ev
    ev
    Bon dimanche Clairon.

    $\rho (1 + \cos (\theta)) = 2$, ça serait-y pas une parabole des fois ?

    Par ailleurs, n'y aurait-y pas un carré qui se serait fourvoyé dans un tunnel ? (chez toi ou chez moi...)

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • gb
    gb
    Il est bien connu que \(\rho=\dfrac{p}{1+e\cos\theta}\) est l'équation d'une conique.
  • Clairon
    Clairon
    Chère e.v.,

    Tu as l'oeil ! J'ai en effet mal tapé. Il s'agit bien de $\rho^2 (1 + \cos(\theta)) = 2$.

    Heureusement qu'il y a GeoGebra ; j'ai réussi à tracer cette belle courbe ! Je laisse tomber Maple (sauf si une bonne âme me montre qu'avec Maple, on peut faire aussi bien).

    A+
    Clairon.
  • remarque
    remarque
    On peut également résoudre en $x$, ce qui donne $x= \frac{2-y^2}{\sqrt{4-y^{2}}} $ pour $y\in{]-}2,2[$.
  • Rozalla
    Rozalla
    Je ne sais pas moi, mais en posant $Z=z+ \vert z \vert $, ne trouve-t-on pas l'équation $ Z \overline Z=4$ qui est celle d'un cercle de centre l'origine et de rayon 2 ? Ensuite, il faudrait définir l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels que $z+\vert z \vert = 2e^{i\theta}$ ; mais là je bloque !!!
    Intuitivement, je ne pense pas que le passage au coords cartésiennes soient une bonne idée.
  • jydu56
    jydu56
    Si $z=(\rho, \theta)$ , j'arrive à $\rho \cos \frac{\theta}{2} = 1$

    Calcul sur fichier joint si je ne me suis pas trompé.
    eqz.pdf 66.7K
  • remarque
    remarque
    Bien essayé, mais tu reviendras en deuxième semaine ! ;)
    19137
  • jp nl0
    jp nl0
    M'sieur Remarque, m'sieur Remarque,

    Y'a jydu56 qu'a bon mais faut juste tracer sa courbe avec $\theta\in]-\pi,\pi[$.

    C'est pas juste, m'sieur !
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonsoir

    l'ensemble des points en coordonnées polaires est bien r = 1/cos(t/2)

    n'est ce pas une strophoïde? gb (ou un autre intervenant) saura sûrement nous le préciser

    cordialement
  • jp nl0
    jp nl0
    La trissectrice de Delanges, d'après mathcurve
  • jydu56
    jydu56
    @jp:

    Intéressant !

    La définition géométrique de la trissectrice de Delange donnée par Mathcurve permet de retrouver de façon évidente que pour un point $M$ de la trissectrice on a bien
    $|z+|z|| = 2 a $ et dans notre exemple $a=1$.
  • remarque
    remarque
    jp nl a écrit:
    C'est pas juste, m'sieur !

    Ah bon, ouais, peut-être... j'aurais pas dû faire une confiance aveugle à l'informatique. Allez, ça ira pour cette fois. :D
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