Produit normale-uniforme

Bonjour,

Je suis en train de plancher sur un exercice que j'ai trouvé dans un livre de probas.

On considère X suivant une loi normale centrée réduite, Y suivant une loi uniforme sur [-1;1], avec X et Y indépendantes.
Le but est de déterminer la loi de Z=XY.

Puisque X et Y sont indépendantes, on a une densité du couple (X,Y).

J'ai alors essayé de calculer P(Z<=z) en discutant suivant que z=0, z>0 ou z<0.

Le cas z=0 est facile à traiter et j'ai trouvé P(Z<=0)=1/2.

Pour le cas z>0, j'ai dessiné de domaine de R^2 sur lequel il faut intégrer, mais je tombe sur une intégrale que je n'arrive pas à simplifier....

Quelqu'un pourrait-il m'aider ou me donner une indication ?

Merci d'avance,

AlphaBeta

Réponses

  • Je n'ai pas réussi à faire tous les calculs non plus et maple sort une expression pleine de fonctions hypergéométriques qu'il refuse de simplifier. Donc je ne sais pas s'il y a vraiment des chances de tomber sur un résultat simple à la fin (sauf s'il y a une méthode astucieuse, auquel cas, je donne ma langue aux vrais probabilistes).
  • Quelle que soit la facon dont on répond, le résultat ne sera pas élémentaire. Mais quelle était la question exacte posée par le livre de proba?
  • Bonjour,

    Si tu dis "déterminer la loi de" dans le sens général du terme, alors je pars du principe que la fonction caractéristique du produit te suffit (ça caractérise bien la loi). Dans ce cas, on peut calculer la fonction caractéristique en conditionnant d'abord par Y. Le résultat est immédiat ensuite si on sait reconnaître la loi de Y^2.

    Amicalement,
  • Au temps pour moi, j'ai parlé trop vite, le résultat n'est pas immédiat, désolé.
  • Enfin, ça marche mais ça a une sale tête.
    Sauf erreur, la fonction génératrice des moments du produit au point t est égale à la fonction génératrice des moments d'une loi beta de paramètres (1/2,1) évaluée au point 1/2*t^2.

    Amicalement,
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