Exercice sur les coniques

cccccp
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dans Géométrie
Bonjour à tous.
Je cherche une preuve, si possible sans trop de calcul, du résultat suivant:

Soit $\Gamma$ une conique propre et $P\in \Gamma$. Si $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont deux droites perpendiculaires passant par $P$, on note, pour $i=1,2$, $M_i$ l'autre point de $\mathcal{D}_i\cap \Gamma$. Montrer que $(M_1M_2)$ passe par un point fixe.

Merci beaucoup de votre aide.

Réponses

  • zephir
    zephir
    Bonjour,

    Involution de Frégier.
  • Bruno
    Bruno
    Rien à ajouter B-).

    Bruno
  • zephir
    zephir
    Cela dit, si on prend pour origine le point $P$ et pour axe $Ox$ la tangente en $P$ à $\Gamma$, l'équation de $\Gamma$ prend une forme très sympathique. Une droite passant par l'origine peut être paramétrée par sa pente $t$ et on obtient très facilement les coordonnées de l'autre point $M(t)$ d'intersection de cette droite avec $\Gamma$. Il ne reste plus qu'à vérifier que la droite $M(t),M(-1/t)$ fait partie d'un faisceau linéaire de droites.
  • jydu56
    jydu56
    J'ai envie de dire comme on disait autrefois : je fais une transformation homographique dans le plan qui envoie deux points de la conique aux points cycliques.
    L'image de la conique est donc un cercle.
    L'image de la droite M1M2 est alors un diamètre du cercle image, car l'angle droit M1PM2 est conservé par l'homographie ; cette image de M1M2 passe donc par un point fixe le centre du cercle image. La droite M1M2 passe donc par un point fixe image inverse du centre du cercle.
  • Bruno
    Bruno
    Dis-moi jydu56, tu crois vraiment qu'en envoyant deux points de la conique sur les points cycliques tu conserves l'orthogonalité ? Tes droites orthogonales ont pour images deux droites passant par l'image du point P et conjuguées par rapport aux images des isotropes de P qui ne sont plus des isotropes. Ceci même si l'on fixe P par l'homographie.

    Bruno
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