a/sinA = b/sinB = c/sinC

brunop
brunop
dans Géométrie
Bonjour,
Soit un cercle circonscrit à un triangle et la relation suivante :
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R.
Je comprends c/sinC = 2R dans le cas où le triangle est rectangle, mais en est-il de même dans le cas d'un triangle quelconque ?
Merci pour l'aide.

Réponses

  • gb
    gb
    Si $D$ est le point diamétralement opposé à $B$ sur le cercle circonsrit, le triangle $DAB$ est rectangle en $A$ donc $\sin\hat D = \dfrac{AB}{DB} = \dfrac{c}{2R}$.
    9357
  • moi0200
    moi0200
    oui cette formule est générale et appelée loi des sinus
  • brunop
    brunop
    Ok compris.
    Merci bien,
    R
    emarque pour GB : je crois que votre message il y a une erreur de frappe et qu'il faut lire :
    sinD = AB/BD.
  • gb
    gb
    On a tout de même $BD=DB$\ldots
  • ev
    ev
    ...seulement si $B$ et $D$ sont à égale distance l'un de l'autre.

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • kolotoko0
    kolotoko0
    Bonjour ,
    la loi des sinus est une des formules fondamentales de la géométrie du triangle avec la formule d'Al Kashi , la formule de Héron, la formule de Bobillier et quelques autres.
    kolotoko
  • Bruno
    Bruno
    Bobillier ? Connais-pas.

    Bruno
  • kolotoko0
    kolotoko0
    Bonjour Bruno,
    la formule de Bobillier dit que : r_a + r_b + r_c = 4R + r .
    C'est une jolie formule reliant les rayons des cercles exinscrits(r_a, r_b, r_c), cercle circonscrit (R)et cercle inscrit (r) d'un triangle ABC .

    exercice : démontrer la formule de Bobillier .

    A remarquer qu'on peut exprimer l'aire d'un triangle (S) uniquement en fonction de r_a, r_b et r_c .

    Bien cordialement

    kolotoko
  • kolotoko0
    kolotoko0
    remarque historique :
    C'est Joseph Diaz Gergonne (1771-1859) qui attribue à Etienne Bobillier (1798-1840) le théorème dont il est question, à savoir " le rayon du cercle circonscrit à un triangle est le quart de l'excès de la somme de rayons des cercles ex-inscrits à ce triangle sur le rayon du cercle inscrit " .
    On trouve cette attribution page 90 des Annales de Mathématiques pures et appliquées, tome 19, 1828-1829 dans un article de Jakob Steiner (1796-1863) intitulé : "Recherche des relations entre les rayons des cercles qui touchent trois droites données sur un plan et entre les rayons des sphères qui touchent quatre plans donnés dans l'espace ."

    kolotoko
    PS : à remarquer qu'un cratère lunaire porte le nom de E.Bobillier .
  • Bruno
    Bruno
    Bonjour kolotoko.

    Merci pour cette formule. Pour les rayons, je conseillais d'arrêter l'exposé à :$$S^2 = rr_ar_br_c$$formule dont j'ignore le nom.

    Bruno
  • monsieur.patate0
    monsieur.patate0
    La formule de Bruno ressemble à celle de Héron. Je suppose qu'il y a un lien ?
  • Bruno
    Bruno
    Bien sûr :$$S = pr = (p - a)r_a = (p - b)r_b = (p - c)r_c$$tu en déduis $S^4$ et la formule de Héron permet une simplification.

    Bien vu monsieur.patate ;).

    Bruno
  • kolotoko0
    kolotoko0
    La formule S^2 = rr_ar_br_c doit être de Lhuillier ,me semble .
    kolotoko
  • Bruno
    Bruno
    Merci Kolotoko.

    Bruno

    [Toutes mes excuses à l'intéressé, je deviens de plus en plus dyslexique 8-).]
  • bs
    bs
    Bonsoir,

    En (18), le texte évoqué par kolotoko, et non par kolokoto ;)

    Gros dodos.
  • sousou6
    sousou6
    > Bonjour je peut avoir une demonstration pour:
    sinA+sinB+sinC=(a+b+c)/2r avec a,b et c sont les cote du triangle ABC te r reyon du cercle surconscrit??
  • bs
    bs
    Bonjour,

    sin A = a/2R, sin B = b/2R, sin C= c/2R (message initial et preuve de gb)

    Cercle surconscrit: non, circonscrit: oui, donc rayon R et non r dans la relation.

    Amicalement.
  • jydu56
    jydu56
    Appelle C' le pied de la hauteur du sommet C;
    CC'=b sin(A) = a sin(B) et puis tu continues avec la hauteur du sommet B par exemple...
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