convergence faible avec moments

[edit apres la reponse de Raphayel]: pourquoi ce qui suit est faux ? Raphayel, quel est ton contre exemple ?

Il doit y avoir un theoreme qui regle la question, mais on peut aussi faire facilement cela "a la main". Ta question est equivalente:
"Si $X_n$ converge en loi vers $X$ et que les moments d'ordre $p$ sont bornes pour tout $p$, est ce que $\mathbb{E}[X_n^k] \to \mathbb{E}[X^k]$ ?".

La condition sur la bornitude des moments implique que la suite $\{X_n^k\}_{n \geq 0}$ est uniformement integrable pour tout $k$: pour tout $\epsilon > 0$ on peut choisir $C_k$ tel que $\sup \Big\{ \mathbb{E}[ |X_n|^k 1_{|X_n|>C_k}]\Big\} < \epsilon$ et $\mathbb{E}[ |X_n|^k \; 1_{\{|X_n|>C_k\}}] < \epsilon$. On peut aussi ecrire $x^k = f(x) + g(x)$ avec $f,g$ deux fonctions continues bornees qui verifient:
1: $f(x)=x^k$ pour tout $|x| < C_k$ et $\|f(x)\|_{\infty} < \infty$
2: $g(x)=0$ pour tout $|x| < C_k$ et $|g(x)| < 2 |x|^k$, par exemple.

Comme la suite $X_n$ converge faiblement vers $X$ et $f$ est continue bornee on a $\mathbb{E}[f(X_n)] \to \mathbb{E}[f(X)]$. De plus $\mathbb{E}[g(X_n)] \leq 2 \mathbb{E}[ |X_n|^k \; 1_{\{|X_n|>C_k\}}] < 2 \epsilon$ ainsi que $\mathbb{E}[g(X)] < 2 \epsilon$. Au final, apres un petit peu d'algebre, on se retrouve avec quelque chose du genre
\[ \mathbb{E}[X^k] - 4 \epsilon \leq \liminf_n \mathbb{E}[X_n^k] \leq \limsup_n \mathbb{E}[X_n^k] \leq \mathbb{E}[X^k] + 4 \epsilon. \]

Que veux-tu dire ? Pour montrer qu'une suite $Y_n$ de variable aleatoire est uniformement integrable, tu peux verifier que $\sup \Big\{ \mathbb{E}[|Y_n|^{1+\alpha}]\Big\} < \infty$ ou $\alpha>0$ est une constante. Voir ici par exemple.
Cela montre immediatement que pour toute puissance $k$ la suite $\{ X_n^k\}_{n \geq 0}$ est uniformement integrable.

Il y a un bon chapitre (ou appendice ?) sur l'équi-intégrabilité dans Billingsley: convergence of probability measures.