Inégalités entre espérances

Bidouille
Bidouille
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

On considère X et Y deux variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans [0,1].
La double inégalité suivante est-elle vraie ?

E(X^4) > E(X^3 Y) > E(X^2 Y^2)

Merci d'avance

Réponses

  • raphayel
    raphayel
    Comme tes variables sont iid ça revient à $(E X^2)^2\leq (E X E X^3) \leq (E X^4)$.
    La première inégalité est fausse (si $X$ est centrée, $E X=0$.)
    La seconde ne m'inspire pas confiance...

    [La case LaTeX. AD]
  • Bidouille
    Bidouille
    Bonjour,
    Je n'ai peut-être pas été clair. Je précise autrement : $X$ une v.a. à support $[0,1]$.
    Il s'agit de savoir si ceci est vrai :
    $E(X^4) \geq E(X^3) E(X) \geq E(X^2)^2$
    La relation d'ordre entre les termes 1 et 3 est évidente. La condition de support est également essentielle car, comme tu le précises, si $E(X)=0$, cela ne marche pas.
    Voila...
  • alekk
    alekk
    Cela est faux: prendre $X$ et $Y$ des constantes pour trouver des contre-exemples.
  • Bidouille
    Bidouille
    Ce sont des v.a. ... de même support. Voir la nouvelle formulation, même si je n'ai pas beaucoup d'espoir.
  • aléa
    aléa
    Ca ne change rien, car le support influe très peu sur l'espérance. Tu peux construire des variables $a_n$, $b_n$ de support $[a,b]$, bornées, qui convergent respectivement vers $a$ et $b$.


    Si ton inégalité est strictement dans le mauvais sens pour $a$ et $b$, pour $n$ grand, elle l'est aussi pour $a_n$ et $b_n$.
  • Bidouille
    Bidouille
    La propriété est fausse en général.

    Si on vérifie que c'est vrai pour la loi uniforme sur [0,1] puisque l'on a : 1/5 > 1/8 > 1/9

    ce n'est pas vrai pour la loi normale, même non centrée centrée $(\nu \neq 0)$ car :
    $3\sigma^4+3\nu^2\sigma^2 > 3\nu^2\sigma^2 > \sigma^4$ n'est pas toujours vrai... Dommage.
  • gerard0
    gerard0
    Heu...

    Une loi Normale sur [0;1] ? Bizarre !

    Cordialement.
  • Bidouille
    Bidouille
    C'est vrai, je me suis écarté de mon problème initial, où ma loi est à support borné [0,1], sans savoir quel rôle cela peut jouer.
    De fil en aiguille, j'ai toutefois l'impression qu'il reste peu de marges de manoeuvre pour que cela marche, même si le support est [0,1].
    A moins qu'on me démontre le contraire, ce que je cherche !
  • ano0
    ano0
    C'est vrai pour tout variable positive. La première inégalité se démontre par Cauchy Schwartz avec $X^{1/2}$ et $X^{3/2}$
    et la deuxième par Holder qui implique que
    $E(X^p)\le E(X^q)^{p/q}$ pour $p<q$.
  • Bidouille
    Bidouille
    Merci pour cette excellente réponse !
    J'ai une autre question dans le même genre. Voir une discussion à suivre dans 5 minutes.
  • Bidouille
    Bidouille
    Je reviens avec une autre question, assez semblable, mais pourtant...
    A-t-on $E(X^4) \geq E(X^3 Y) \geq E(X^2 Y^2)$ où $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires identiquement distribuées sur $[0,1]$, mais pas indépendantes ?
    Merci d'avance

    [Restons dans la même discussion, ainsi une recherche ultérieure sur le forum donnera le tout groupé. AD]
  • JLT
    JLT
    Pour la première, utiliser Hölder avec $p=4/3$, $q=4$, $f=X^3$, $g=Y$.
  • ano0
    ano0
    L'autre inégalité est fausse : prendre $(X,Y)$ de loi
    $P((X,Y)=(0,1/4))=P((X,Y)=(1/4,1/2))=P((X,Y)=(1/2,0))=1/3$.
    Par contre par holder, on a
    $E(X^2Y^2)\le (E(X^3Y)E(XY^3))^{1/2}$
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