Intégrale

mastoul
mastoul
dans Analyse
Bonjour à tous,

Merci de m'aider pour calculer l'intégrale suivante :
$$\int\frac{1+\cos x+\sin x}{\sqrt{1+\cos x\sin x}}dx.$$
Merci d'avance.

Réponses

  • clothoide
    clothoide
    Salut,

    Il faudrait préciser les bornes, mais en effectuant le changement de variable tout simple $x=\pi/2+u$, on obtiendrait :

    $$\int\frac{1+\cos x+\sin x}{\sqrt{1+\cos x\sin x}}dx= \int\frac{1+ \cos(u+\pi/2)+ \sin(u+\pi/2)}{\sqrt{1- \sin^2 u}}du.$$

    Ce qui arrange le dénominateur. Bon ensuite, faut voir.

    edit : je compléte. Pour l'intégrande et après mon changement de variable, on obtient : $\dfrac{1+\cos x+\sin x}{\sqrt{1+\cos x\sin x}}= \dfrac{1+\cos u -\sin u}{\cos u}$ (en supposant que $\cos$ est >0) : ce qui ne pose plus de problèmes pour l'intégration.

    Cordialement,
    Clotho
  • mastoul
    mastoul
    Merci Clotho
  • clothoide
    clothoide
    Attention : mon indication ne fonctionne que si le cosinus sous la racine au dénominateur est strictement >0. Je suppose que c'est le cas.

    Clotho
  • GreginGre
    GreginGre
    Euh Clotho, je ne vois pas comment tu passes de $\cos(x)\sin(x)$ à $-\sin(u)^2$. Pour moi ça donne plutôt $-\sin(u)\cos(u)$ donc ça n'aide pas.
  • clothoide
    clothoide
    @greg : oulalah, tu as entièrement raison! Autant pour moi, c'est une erreur grossière.
    J'aurais dû m'abstenir sur ce coup là.

    cordialement,
    CLotho
  • T&T
    T&T
    Bonjour,
    Meme wolfram alpha ne sait pas faire!
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=int((1+cos+x++sin+x)/(sqrt(1+cos+x+sin+x)))&asynchronous=pod&a=*C.int-_*IntegralsWord-&s=31&incTime=true
    "Computation timed out. No more results available."
  • mastoul
    mastoul
    Bonjour à tous,

    Suite à ma question, pourrions nous calculer l'intégrale suivante ?
    $$\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\frac{\cos x+\sin x}{\sqrt{1+\cos x\sin x}}dx$$
    Merci d'avance.
  • zephir
    zephir
    Celle-là oui, en utilisant le changement de variable $t=\tan x$
    On doit trouver $2\sqrt 2 \arctan \dfrac 1 {\sqrt 2}$ (merci MAPLE)
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    pour en revenir à l'intégrale initiale, il est difficile d'envisager une primitive exprimée avec les fonctions classiques

    si on considère la même intégrale calculée cette fois entre les bornes 0 et pi/2

    on peut opérer le même changement de variable que celui de Zephir avec la seconde intégrale soit : t = tan(x)

    auquel cas on tombe sur une intégrale elliptique mais qui ne s'exprime pas avec les constantes habituelles

    notre ami JJ (ou un autre intervenant) pourra sûrement nous en dire plus

    cordialement
  • JJ
    JJ
    a écrit:
    "notre ami JJ (ou un autre intervenant) pourra sûrement nous en dire plus"]
    L'ami JJ n'en dira pas beaucoup plus. Sans les intégrales elliptiques, pas de salut pour un cas comme celui là !
    a écrit:
    "Meme wolfram alpha ne sait pas faire!"
    Mais si, il sait le faire, à condition de lui mâcher un peu le travail (copie jointe)
    Néanmoins, c'est sans intérêt, à part que cela montre que l'intégrale peut s'exprimer analytiquement avec des intégrales elliptiques.
    18051
  • Cauchy
    Cauchy
    je te conseille d'ecrire $z=e^{i\theta}$ et passer au calcul de residue
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Bonjour!

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