operateur compact et inverse

Cauchy · January 2011

Bonjour
Si $X$ est un espace de Hilbert, et $A : X\rightarow X$ un opérateur compact, alors est-ce que $\|(I+A)^{-1}A\|_X$ tend vers 0 si $\|A\|_X$ tend vers 0 ?

remarque · January 2011

Oui, même s'il n'est pas compact, d'ailleurs.

Cauchy · January 2011

Pouvez-vous me dire pourquoi ? Je n'ai pas pu me débarrasser du terme $\|(I+A)^{-1}\|_{X}$

remarque · January 2011

Ecris-le comme une série pour $\|A\|<1$. Sinon ne poste pas en LaTeX pour le moment.

Cauchy · January 2011

OK, si $\|A\|_X$ ne tend pas vers 0, mais $(I+A)$ est inversible sur $X$, peut on avoir une estimation sur $\|(I+A)^{-1}\|_X$ en fonction de $\|A\|_X$

remarque · January 2011

Ca dépend des hypothèses. La réponse est oui par exemple si tu as $\|A\|\le\alpha < 1$, avec un estimation en $\frac{1}{1-\alpha}$. Plus généralement, ça doit marcher si $A$ est dans un ensemble d'opérateurs dont le spectre ne s'approche pas de $1$, à vue de nez.

operateur compact et inverse

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