recherche de valeurs prores

Evariste Galois
Evariste Galois
dans Algèbre
Bonjour a tous,

Depuis quelques jours je me demande si il est possible de pouvoir trouver toutes les valeurs propres d'une matrice ayant un format particulier.

$ A_{n} = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & 0 & & \cdots & & & 0 \\
\gamma & \alpha & \beta & 0 & & \cdots & & 0 \\
0 & \gamma & \alpha & \beta & 0 & & \cdots & 0 \\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & & \cdots \end{pmatrix}$ où on a la relation : $\alpha +\beta + \gamma =1$

Je cherche a trouver : $\sigma(A_n)=\{X_1 , \cdots , X_n\}$ l'ensemble de toutes les valeurs propres de la matrice de dimension n.

J'ai pensé rechercher les polynomes caractéristiques en fonction de la taille de la matrice.
J'ai touvé que $P_{n}(X)=det(A_n - X Id_n )=(\alpha-X) P_{n-1}(X) - \beta \gamma P_{n-2}(X) $ avec $P_0=1$ et $P_1=\alpha-X$

Mais après je ne vois pas du tout comment avancer.

J'aurai aimé avoir votre avis et savoir comment vous auriez fait pour rechercher les dites valeurs propres.

Réponses

  • chris93
    chris93
    Ca ne répond pas exactement à ta question mais, si $\gamma=\beta$, il y a un lien avec les polynômes de Tchebichev (de seconde espèce je crois) et on peut donc en trouver explicitement les valeurs propres....Il y a eu un sujet sur le forum il n'y a pas très longtemps.

    A confirmer parce que je n'ai pas vérifié.

    Sinon, tu veux plus d'indications, regarde Gourdon Algèbre p149, il y a un exercice qui peut t'aider.
  • bs
    bs
    Bonjour,

    Maintenant, c'est fait chez Monier - Algèbre 2 - Exercice 2.3.7- page 56 avec $a,b,c$ ...
    ...et pour le déterminant: Algèbre 1- Exercice 9.6.1.(f) - page 325 toujours avec $a,b,c$ .

    Amicalement.
  • gb
    gb
    Le vecteur-colonne \(X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}\) satisfait \(AX = \lambda X\) si, et seulement si, le \((n+2)\)-uplet \((x_0,x_1,\dotsc,x_n,x_{n+1})\) satisfait la récurrence linéaire :
    \[\beta x_{k+1} + (\alpha - \lambda)x_k + \gamma x_{k-1} = 0\]
    avec les conditions aux limites : \(x_0 = x_{n+1} = 0\).
  • rombaldi2
    rombaldi2
    Bonjour,
    sur ce document : http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rombaldi/AgregInterne/Oral1/156.pdf il y a peut être une réponse à ta question (exercices 9.14, 9.15 et aussi 9.2, 9.3, 9.10 et 9.11).

    Bonne journée à tous
  • Lucas
    Lucas
    J'imagine que tu fais des chaînes de Markov? En tout cas on avait discuté de ça ici

    Vieille discussion sur les matrices circulantes

    ... et gb était déjà intervenu!
  • Juge Ti
    Juge Ti
    Salut

    Tu peux poursuivre tes calculs après $P_{n}(X)=(\alpha-X) P_{n-1}(X) - \beta \gamma P_{n-2}(X) $ avec $P_0=1$ et $P_1=\alpha-X$.

    Avec la méthode habituelle d'étude des suites récurrentes linéaires on trouve $P_n(x)=\dfrac{r_1^{n+1}-r_2^{n+1}}{\delta}$ où $r_1$ et $r_2$ sont les racines de l'équation caractéristique $r^2+(x-\alpha)r+\beta\gamma=0$ et $\delta$ est une racine carrée de son discriminant (lorsque celui-ci est non nul).

    Ainsi $P_n(x)=0\Leftrightarrow r_1=r_2\omega_k$ o\`u $\omega_k$ est une racine $(n+1)^e$ de l'unité.

    Après quelques jolis calculs on arrive à $x=\alpha+2\cos\dfrac{k\pi}{n+1}\sqrt{\beta\gamma}$ avec $1\leq k\leq n$, ce qui correspond au résultat donné par le pdf de Rombaldi.
  • Gérard Letac
    Gérard Letac
    Pas enti\`erement d'accord avec les contributions précédentes, car l'énoncé ne dit rien du signe de $\beta$ et $\gamma.$ Lucas parle bizarrement de matrices circulantes, et si ce que dit Juge Ti est correct si $\beta$ et $\gamma$ sont positifs, c'est un peu faux s' ils sont négatifs, encore plus si l'un est nul et tr\`es faux si ils sont de signes opposés car la matrice est semblable a une matrice réelle antisymétrique plus $\alpha I_n,$ donc de valeurs propres de la forme $\alpha+it$ avec $t$ réel. Les calculs sont du m\^eme genre, mais \`a cette heure on a la flemme. Amicalement.
  • Juge Ti
    Juge Ti
    Effectivement Gérard, je n'ai pas fait attention à ça. Si $\beta\gamma=0$ la matrice est triangulaire donc la seule valeur propre est $\alpha$, et si $\beta\gamma<0$ on trouve $\alpha+2i\cos\dfrac{k\pi}{n+1}\sqrt{-\beta\gamma}$.

    Reste à déterminer les vecteurs propres associés (cf post de gb) mais je n'ai pas le courage.
  • Evariste Galois
    Evariste Galois
    Ouah merci pour toutes vos réponses, je ne m'attendais pas à tant ! :)

    Je vais tacher de lire le document fourni par Rombaldi, et espérer retomber sur les résultats de juge ti... qui pour le moment ne me sont pas accessibles.

    Pour répondre à la question de Lucas, oui ça peut être considéré comme des chaines de Markov. En fait, on m'a posé une question dont je ne comprends pas le cheminement logique pour arriver au résultat. La question était la suivante :
    On joue à pile ou face. Tu pars avec un capital de 100 pièces. Si tu fais pile tu gagnes une pièce, si tu fais face tu perds une pièce. Le jeu s'arrête quand le capital de pièces arrive à 0 ou à 1000. Quelle est la proba de l'évènement: "à la fin du jeu j'ai 1000" ?

    Après un peu de réflexion j'en suis arrivé à trouver les valeurs propres d'une matrice de la forme : $ \begin{pmatrix} \alpha & 0_{1 \times n} & 0 \\ 0_{n \times 1} & A_n & 0_{n \times 1} \\ 0 & 0_{1 \times n} & \alpha \end{pmatrix}$, et $\alpha, \beta, \gamma \geq 0$ fonction de la probabilité de faire "pile" avec la pièce.

    Je vais creuser un peu et risque de revenir vous embêter.
    Merci pour toutes vos réponses,
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