calcul d'une limite...

Evariste Galois
Evariste Galois
dans Analyse
Bonjour à tous,

Je suis un peu rouillé sur le calcul de limite et là pour le coup je dois en faire une.
Voici la fonction :
$$\beta(x)=\frac{x}{1-{(1+x)}^{-n}}$$

Je cherche a calculer $ \lim_{x \leftarrow 0^+}{\beta(x)}$.
Je tombe sur une forme indeterminée du type : $ 0^+ \times +\infty$ et je ne sais plus comment m'y prendre pour lever l'indéterminée...

J'ai pensé à chercher un équivalent du dénominateur en 0 mais j'ai l'impression d'aller dans le décor..

Si vous pouviez me rafraichir la mémoire... (le cheminement m'intéresse plus que le résultat.)

Merci a tous! :)

Réponses

  • dirac1
    dirac1
    $ (1+x)^{-n} \sim 1 -nx $
    Puis, tu ne fais que ajouter des termes, de même nature , à gauche et à droite. et tu obtiens une expression facile à trouver sa limite.
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Un petit développement limité suffit ; au voisinage de l'origine: \((1+x)^{-n} = 1-nx+o(x)\) (si \(n\) est indépendant de \(x\)\dots).
  • gb
    gb
    Dirac écrivait:
    > $ (1+x)^{-n} \sim 1 -nx $

    Joli, mais on a tout autant : \((1+x)^{-n} \sim 1 + n^2x\) au voisinage de l'origine\dots
  • dirac1
    dirac1
    On ajoute, un petit tau alors. c'est ça le problème ??? :)
  • ev
    ev
    Bonjour Eva,

    As-tu essayé une règle de l'Hospital ?

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • jacquot
    jacquot
    On peut aussi faire:
    $$\beta(x)=\frac{x}{1-{(1+x)}^{-n}}=\frac {x(1+x)^n}{(1+x)^n-1}= \frac {x(1+nx+C_n^2x^2...)}{x(n+C_n^2x+C_n^3x^2+..)}$$
    Après simplification par $x$, on voit que la limite est $1/n$
  • Evariste Galois
    Evariste Galois
    J'ai bien pensé a faire l'équivalence : $1-{(1+x)}^n = nx +o(x)$ Mais il me semblait (d'un vieux souvenir) qu'on ne pouvait pas faire une division d'équivalence.

    Ceci dit avec un peu de bon sens paysan, d'où est extrait la formule le résultat est cohérent.

    Ev, je n'y ai pas pensé! bon sang!


    Merci en tout cas de m'avoir rafraichit la mémoire sur ce point. (surtout la règle de l'Hopital pour le coup)
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    ton expression algébrique peut s'écrire après décomposition de la fraction: x + x/[(1+x)^n - 1]

    or (1+x)^n - 1 est équivalent à n.x lorsque x tend vers zéro

    et donc la limite de ton expression est la limite de x + x/(n.x) soit 1/n

    cordialement
  • Evariste Galois
    Evariste Galois
    Bonjour à tous,

    Je me permets de revenir parmi vous car j'ai une question un peu... stupide dont je n'arrive pas a trouver de solution.

    J'ai toujours ma fonction $\beta(x)=\frac{x}{1-{(1+x)}^{-n}}$ avec $x \geq 0$ et $n\in \N^{*}$ et et j'aimerais connaitre l'impact d'une augmentation de une unité de $n$, ou dit autrement connaissant $\beta_n(x)$ je veux trouver une estimation pour le moins correcte de $\beta_{n+1}(x)$.

    J'ai pensé utilisé un développement limité mais les résultats ne sont pas très intéressants, l'écart reste important, voire inutilisable...
    Alors j'ai pensé utiliser le fait que la fonction était de la forme exp(Constante n), mais je n'ai rien réussi à trouver, et je ne vois pas comment exploiter cette remarque (si tant est qu'elle le soit, exploitable).

    Auriez-vous une idée de comment faire ? Ou une méthode pour améliorer le développement limité ?

    En vous remerciant d'avance,

    [Restons dans la discussion de ton exercice. AD]
  • jacquot
    jacquot
    Evariste a écrit:
    j'aimerais connaitre l'impact d'une augmentation de une unité de n

    Précise ta question STP: pour une valeur particulière de x? au voisinage de 0?

    N'obtiens-tu pas ce que tu cherches en calculant $\dfrac {\beta_{n+1(x)}}{\beta_n(x)}$?
  • Evariste Galois
    Evariste Galois
    En fait c'est pour tout x>0 mais malgré tout dans la pratique c'est en général en dessous de 0.5.
    Je vais regarder le ratio. Merci de ta réponse.
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