Pour définir une ellipse ?

ted
ted
dans Géométrie
Bonjour, combien nous faut-il de points (au minimum) pour définir une ellipse en plus de la connaissance d'un foyer (a priori 2 points ne sont pas suffisants et 5 points suffisent) ?
Peut-on à partir de ces points construire géométriquement le deuxième foyer ?
Mon but : à partir de la position d'un objet dans l'espace à plusieurs instants, déduire sa trajectoire en appliquant la première loi de Kepler.
Merci par avance.

Réponses

  • gb
    gb
    Bonjour,

    Deux coniques distinctes ayant un foyer commun, ne peuvent avoir plus de deux points réels d'intersection.
    Une conique est parfaitement déterminée par un foyer et trois points.
  • ted
    ted
    Merci, sauriez-vous s'il est possible de construire géométriquement le deuxième foyer à partir de ces 3 points et d'un foyer ?
  • gb
    gb
    Si la conique de foyer F, passe par les points P, Q, R est une ellipse, alors :
    – la droite (PQ) et la bissectrice extérieure en F au triangle FPQ sont sécantes en M sur la directrice associée à F ;
    – la droite (PR) et la bissectrice extérieure en F au triangle FPR sont sécantes en M' sur la directrice associée à F.
    On trace ainsi la directrice D associée à F.
    D'autre part, la perpendiculaire en F à (FP) coupe D en T, et (PT) est la tangente en P à l'ellipse, donc la symétrique de (PF) par rapport à (PT) est la droite (PF'). On trace de même (QF') et on obtient le second foyer F'.
  • ted
    ted
    Merci beaucoup !!! je vais pouvoir construire tout ça.
  • pappus
    pappus
    Ca me parait bien compliqué, gb!
    D'autre part, je ne comprends pas ta restriction à la bissectrice extérieure.
    Je pense qu'on a le choix entre bissectrices intérieure et extérieure, ce qui fait $2\times 2 = 4$ possibilités et donc apriori 4 solutions.
    Une autre méthode serait la suivante:
    Les 3 cercles de centre $F$ passant respectivement par $P$, $Q$, $R$ sont tangents au cercle directeur relatif au second foyer $F'$.
    On est donc ramené à construire les cercles tangents à ces trois cercles.
    C'est un problème très célèbre admettant en général 8 solutions.
    Mais ici ces trois cercles passent par un même point $F$.
    En faisant une inversion de centre $F$, on est ramené à construire les cercles tangents à 3 droites données et donc on a en général 4 solutions.
    En mariant ta solution avec la mienne, on arrive à une jolie configuration ultraconnue de nos grands anciens.
    Amicalement
    Pappus
    PS
    La discussion détaillée est très délicate et il va sans dire qu'on peut tomber aussi bien sur des ellipses que sur des hyperboles ou des paraboles.
  • pappus
    pappus
    file.php?8,file=17428
    Sur cette figure, j'ai tracé la construction de gb d'une conique passant par 3 points $A$, $B$, $C$ et de foyer $F$.
    J'ai dessiné et colorié les cercles de centres $A$, $B$, $C$ passant par $F$ (et qui jouent aussi un rôle dans la construction que j'ai proposée).
    J'ai tracé les six bissectrices (en pointillé coloré) des trois paires de droites $(FB,FC)$, $(FC, FA)$, $(FA, FB)$ ainsi que leurs intersections avec les côtés adéquats du triangle $ABC$.
    En fait ces intersections sont les centres d'homothétie des trois cercles pris deux à deux.
    On sait que ces six centres d'homothétie se répartissent trois à trois sur quatre droites appelées axes d'homothétie.
    Ces quatre axes d'homothétie sont justement les directrices associées au foyer $F$ de ces quatre coniques.
    Le choix de gb des bissectrices "extérieures" conduit aux trois centres d'homothétie positives dont on sait qu'ils sont alignés, la conique correspondante étant effectivement une ellipse. Les trois autres axes d'homothétie donnent des hyperboles.
    Une conique étant déterminée par un foyer, une directrice associée à ce foyer et un point, je pense qu'il n'est pas nécessaire d'aller plus loin comme l'a fait gb dans la détermination de ces coniques.
    D'autre part la construction classique des cercles tangents à trois cercles donnés fait intervenir leurs quatre axes d'homothétie.
    On voit donc le lien entre la construction de gb et la mienne.
    Amicalement
    Pappus17428
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