QDM' 3: sous le soleil de Luminy

Norbert Verdier
Norbert Verdier
dans Histoire des Mathématiques
Ami(e)s du mercredi, bonjour.

Sous le soleil de Luminy, lors du congrès sur les journaux mathématiques, il y a un an déjà, Jean Delcourt avait lors de son exposé présenté cet exercice :

Oral X 1845 : D'un point $M$ de la circonférence d'une ellipse de foyers $F$ et $F'$, on mène deux cordes $MF'Q$ et $MFP$, $P$ et $Q$ appartenant à l'ellipse.
Démontrer que la somme $\dfrac{MF}{FP} + \dfrac{MF'}{F'Q}$ est constante.
Quelle est cette constante ?
Question subsidiaire : quel mathématicien aimait poser cette question aux candidats ?

Le Comité Du Mardi d'alors avait scrupuleusement noté l'énoncé pour en faire bon usage aujourd'hui. Bonne journée à Luminy et ailleurs. Bernard p/o Le Comité Du Mercredi.

[La case LaTeX. AD]

Réponses

  • Norbert Verdier
    Norbert Verdier
    Merci AD pour avoir coché la bonne case à ma place. Amicalement. N!
    [A ton service :) AD]
  • Guego
    Guego
    constante signifie indépendante de $M$ ? de $P$ ? de $Q$ ?
  • bs
    bs
    Bonjour,

    Jean Delcourt n'en avait pas dit plus...
    ....mais, cette constante est indépendante de la position de $M$, et donc intrinsèque à l'ellipse. ;)

    Amicalement.
  • pappus
    pappus
    Une fois montré que cette quantité est constante, il suffit de l'évaluer aux sommets de l'axe focal et on trouve:
    $\dfrac{2(1+e^2)}{1-e^2}$
    Amicalement
    Pappus
    Quant à ce géomètre à deviner, je dirai Henri Lebesgue qui devait préférer les coniques à son intégrale!
  • Norbert Verdier
    Norbert Verdier
    d'accord avec Pappus pour l'expression (en admettant que la quantité est constante:)). En revanche, pour le géomètre cela ne convient pas. Henri Lebesgue est né trente après que cet énoncé soit exposé. Amicalement. N!
  • pappus
    pappus
    Pour la démo, il suffit d'utiliser l'équation de l'ellipse en coordonnées polaires, le pôle étant l'un des foyers.
    On montre alors que:
    $\dfrac 1 {FM} + \dfrac 1 {FP} = \dfrac 1 {F'M} + \dfrac 1 {F'Q} = \dfrac 2 p$
    où $p = \dfrac{b^2} a$ est le paramètre de l'ellipse.
    On tient compte ensuite de $FM + F'M = 2a$ et ça roule.
    Amicalement
    Pappus
    Chasles, c'est trop tôt?
  • pappus
    pappus
    Mon cher Norbert
    Je crois que Lebesgue est mort en 1940, il aurait eu du mal à être examinateur à l'X en 1845.
    J'avais lu ton message en diagonale.
    Je vois mal Chasles examinateur!
    D'autre part, il était prof à l'X en 1841. Il ne devait pas faire passer le concours!
    Ce pourrait être l'individu qui a collé Evariste dans les années 30, quinze ans pour un examinateur, ce n'est pas extraordinaire!
  • bs
    bs
    Bonjour,

    Excellent, mon cher pappus, l'utilisation du: $$\rho=\dfrac{p}{1+e \cos \theta}$$
    L'examinateur était également un grand géomètre ;)
    Amicalement.
  • pappus
    pappus
    Voici le texte exact pris dans les Nouvelles Annales


    17153
  • pappus
    pappus
    La solution de cet exercice est donnée page 648 du même volume 1845 des N.A par un certain Paul Serret,élève de Mathématiques.
    Serait-ce le fameux Serret des formules de Serret-Frenet?
    Sa solution ne fait pas intervenir l'équation polaire de l'ellipse. Bizarre!
    Je ne résiste pas à vous dessiner la figure qu'il a utilisée.


    17154
  • Norbert Verdier
    Norbert Verdier
    Anne, professeur à Louis Le Grand, est celui qui composait les index des Nouvelles annales. Il participait aussi aux questions de la revue. Quant à Paul Serret, ce n'est pas celui de Frenet-Serret. Ce dernier, c'est Joseph-Alfred. Apparemment aucun lien entre les deux Serret. Jean Delcourt pourrait vous en dire beaucoup plus, je lui ferai part de notre discussion. Amicalement. N!
  • pappus
    pappus
    17173
  • bs
    bs
    Bonjour,

    Oui, mon cher pappus, cette transformation par affinité s'avère également efficace.

    Voici l'article original rédigé par Paul Serret et publié dans les Nouvelles Annales de Mathématiques.

    Par contre, c'est Joseph-Alfred Serret, celui du trièdre de Serret-Frenet qui posait cette question aux candidats de l'X vers 1845, année où tu aurais manifestement également intégré l'X en proposant deux preuves distinctes à l'examinateur ;)

    Bien amicalement.
  • pappus
    pappus
    Merci, bs, d'avoir mis le papier de Serret à la disposition de tous..
    C'est effectivement cet article que j'avais décortiqué et rédigé à nouveau de façon plus moderne.
    Mais je n'ai fait qu'adapter la solution de Serret au goût du jour.
    Amicalement
    Pappus
    PS
    Quel était donc le nom de ce fameux géomètre qui avait donné cette composition (écrite et non orale?) en 1845?
  • pappus
    pappus
    Mon cher bs
    J'ai lu ton message en diagonale.
    Donc pas de mystère, c'est le fiston qui a rédigé la solution du pb donné par papa?
    Amicalement
    Pappus
  • bs
    bs
    Rebonjour,

    Norbert ignore s'il existe un lien de parenté entre ces deux Serret. Peut-être que Jean Delcourt, spécialiste des Nouvelles Annales sait ?

    Amicalement.
  • Norbert Verdier
    Norbert Verdier
    ... non non je sais: il n'y a pas de lien de parenté direct. Paul n'est pas le fils de Joseph-Alfred (à moins que :)! Mais il est vrai que Jean (Delcourt) sait presque tout sur les Serret. Amicalement.
  • pappus
    pappus
    S'il n'y a pas de lien de parenté comme c'est probablement le cas, Joseph-Alfred a dû être agréablement surpris de voir la solution de son exo préféré rédigée par son homonyme Paul.
    Comme on connait toutes les promos de l'X depuis le big bang, on peut même savoir si Paul a été l'élève de Joseph-Alfred pendant deux ans.
    Amicalement
    Pappus
  • jean delcourt1
    jean delcourt1
    Tiré par les pieds par le fantôme de Paul Serret... On parle de lui sur "les.mathematiques.net"!!! En son nom, une ou deux mises au point.

    Paul Serret, natif d'Aubenas (Ardèche), est un brillant élève en Avignon; il semble n'avoir aucun lien de parenté avec Joseph-Alfred Serret, celui des formules, polytechnicien, académicien; et parisien. En tant que lycéen, il contribue aux Nouvelles Annales cf. supra.

    Paul rejoint alors la capitale et le lycée Saint-Louis (ainsi que le cours Barbet). Alors qu'il est en Mathématiques Spéciales, il est lauréat du concours général (1848), puis intègre l'\'Ecole normale supérieure, en 1849.

    Mais la belle histoire de ce doué provincial connaît de premiers dérapages. Classé premier en mathématiques à la fin de sa première année d'études à la Sorbonne, il néglige les autres sciences (Chimie et Physique) et se voit contraint de quitter l'école, avec seulement une licence de sciences.

    Il débute une carrière d'enseignant dans des établissements privés et continue ses recherches en géométrie, publie assez rapidement un ouvrage didactique ( des méthodes en géométrie ) plutôt original, soutient une thèse de mathématiques en 1859 sur le thème des courbes à double courbure, puis un ouvrage de recherche sur ce qu'il appelle la géométrie de direction (1869) (qui n'a rien à voir avec la géométrie direction de Laguerre). On cherche un peu : c'est sur Gallica.

    En 1876, Paul Serret accède enfin à l'enseignement supérieur mais toujours dans le cadre de l'enseignement privé. Une loi du 12 juillet 1875 autorise en effet les établissements privés (en donc les établissements catholiques) à ouvrir des facultés. Consulté, Hermite émet l'avis suivant :
    " Je suis cependant dans la nécessité de vous avertir que le talent éminent de M. Paul Serret n'embrasse malheureusement qu'une spécialité un peu restreinte. C'est la géométrie et non l'analyse qu'il représente avec supériorité, tandis que l'analyse vous serait surtout nécessaire.[...]Je crains un peu que M. Paul Serret ne cède à la tentation de transformer la chaire que vous lui donnerez en inclinant à en faire une chaire de géométrie supérieure ne répondant point à votre but immédiat qui est de préparer à la licence. "

    C'est d'ailleurs ce qui se passe : 10 ans plus tard, en novembre 1886, Paul Serret présente sa démission, se disant victime d'un complot. La démission est acceptée :
    " La vérité est qu'entre vous et tous vos collègues, entre vous et tous vos élèves, il y a une divergence d'appréciation sur la possibilité d'introduire brusquement de médiocres bacheliers-ès-sciences dans les hautes mathématiques. "

    Je n'en dit pas plus : Paul Serret a produit plusieurs notes au CRAS, a été soutenu par Darboux et Bertrand, mais il n'a pas connu une carrière universitaire et académique aussi brillante que Joseph-Alfred Serret, son homonyme. Il décède en 1898.
    Cordialement, jean delcourt
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