Hypothèse de Riemann

Tu decomposes n en facteurs premiers et tu regroupes pour avoir l'expression du second membre:), avec l'expression de la serie geometrique de raison 1/p puiss s.
Plus rigoureusement il faut aller jusqu'au rang N et faire des majorations....
cela se trouve un peu partout (cela date d'Euler!). par ex.
cours Michele Audin d'Analyse complexe sur le net.
Bon courage
par contre cela n'est pas HR !!

Pour comprendre ce qui se passe, développe $ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \Big(1-\frac{1}{2^s}\Big) $
puis développe le résultat multiplié par $ \displaystyle \Big(1-\frac{1}{3^s}\Big) $
puis développe le résultat multiplié par $ \displaystyle \Big(1-\frac{1}{5^s}\Big) $
etc.

Je connaissais la preuve probabiliste pour la fonction indicatrice d'Euler à laquelle faisait référence Borde, mais pas celle mentionné par Aléa (que je remercie au passage). Vous connaissez d'autres preuves de ce "types" ? (Je n'ai aucune connaissance en théorie probabiliste des nombres...)

Bonjour Molinier,

La théorie probabiliste des nombres est (véritablement) née pendant la première guerre mondiale, lorsqu'on a voulu étudier "statistiquement" les fonctions arithmétiques usuelles (nombre et somme des diviseurs, nombre de facteurs premiers, fonctions de Möbius et d'Euler, etc) dont le comportement est par essence totalement erratique.

L'idée était alors d'utiliser la théorie des probas pour l'appliquer à l'arithmétique et ainsi se doter d'outils nouveaux que l'analyse ne pouvait apporter.

Le concept fondamental, que l'on a déjà évoqué ici, est la notion {\it d'entier normal}, i.e. d'entiers appartenant à un ensemble de densité égal à un, concept qui rappelle les "presque sûrs" et "presque partout" de l'analyse et des probabilités.

Classiquement, on définit des notions que les probabilistes connaissent bien comme les densités, les fonctions de répartition d'une fonction arithmétique, les fonctions caractéristiques, etc, et on établit des inégalités analogues aux célèbres inégalités des probas : ainsi, l'inégalité de Turan--Kubilius est grosso modo l'analogue pour les fonctions additives de l'inégalité de Bienaymé--Tchebichef et le théorème d'Erdös--Wintner se compare au théorème des trois séries de Kolmogorov.

Cette approche a permis l'avènement de résultats nouveaux, essentiellement obtenus d'abord par Hardy, Ramanujan, Erdös, Kac et Turan, puis par l'école russe menée par Kubilius et l'école anglaise dont l'un des chefs de file les plus connus est P.D.T.A. Elliott.

Par exemple, si $\tau(n) = \sum_{d \mid n} 1$ désigne le nombre de diviseurs de $n$, là où l'analyse nous apprend qu'en moyenne, $\tau(n)$ se comporte comme $\ln n$, la théorie probabiliste montre que, pour un entier {\it normal}, on a un comportement en $(\ln n)^{\ln 2}$ (Hardy--Ramanujan, 1917).

Ce résultat a longtemps intrigué les spécialistes. On peut l'interpréter par le fait que, dans la somme $\sum_{n \leqslant x} \tau(n)$, un petit nombre d'entiers {\it anormaux} contribuent le plus. On peut montrer que ce sont en fait les entiers dont le nombre de facteurs premiers distincts est $\sim 2 \ln \ln n$.


Borde.

Bonjour

$s>1$, pour que ce soit une proba.
Bien sûr, après, on peut si on veut faire du prolongement analytique.