Constance de la dérivée

Evariste Galois
Evariste Galois
dans Analyse
Bonjour a tous,

Je me permet de poser une question pour le moins surprenante (pour moi), et à laquelle je n'arrive pas a donner de réponse convenable.

Le probleme est le suivant : Soit $P$ un polynome donné par : $ P(X) = X^N - \alpha X + \alpha -1$ avec $X \in [0 ; 1 [$, $\alpha \in [2, N-1[$ et $N>120$.
J'ai posé $X_{Min}$, le point tel que $P'(X_{Min})=0$.
A la base je voulais optimiser la recherche de la racine comprise entre $0$ et $X_{Min}$. J'ai fait le graph du polynome et je me suis rendu compte que pour $N$ grand le polynome avait un comportement très proche d'une droite sur l'intervalle $[0;X_{Min}[$, dont le coefficient directeur était de : $$D=\frac{P(X_{Min})-P(0)}{X_{Min}}$$

Mais voila, je n'arrive pas à le comprendre.

J'ai essayé de regarder le l'ecart entre P'(X) et K, le ratio mais je n'ai rien trouvé de convainquant.

Alors si vous avez une idée, ou une explication, je suis preneur!

Réponses

  • jobherzt
    jobherzt
    Salut,

    J'aurais tendance à dire que c'est simplement parce que si $|X| <1$, pour $N$ grand $X^N$ va etre très petit devant $X$. Et donc le polynome aura un comportement très proche de celui de la droite $-\alpha X + \alpha-1$.
  • Evariste Galois
    Evariste Galois
    Arfff je viens de comprendre pourquoi ! !!! Oeufs carrés!!!!!!
    Soit $X_{Min} = \sqrt[N-1]{\frac{\alpha}{N}}$
    La pente moyenne est donc de : $D=\frac{P(X_{Min})-P(0)}{X_{Min}} = \frac{\frac{\alpha}{N} X_{Min}-\alpha X_{Min}}}{X_{Min}} = -\alpha \frac{N-1}{N}$
    Si je considère le ratio : $\gamma_N (X)= \frac{P'(X)}{D}$.
    $\gamma_N (X)= \frac{N}{N-1} \frac{N X ^{N-1} - \alpha}{-\alpha}$. ce qui peut se réécrire comme ceci :
    $\gamma_N (X)= \frac{N}{N-1} ( 1- \frac{N }{\alpha} X^{N-1} ) $

    Donc quand N devient très grand, on peut approximer la fonction Gamma comme : $ \gamma_N(X)= 1- \frac{N }{\alpha} X^{N-1} $

    Et on retrouve bien ce que l'on cherchait.

    Bon ma solution est très calculatoire, et effectivement n'a pas le mérite d'etre aussi conceptuellement épurée que la tienne...

    Merci pour ta réponse :)
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