Equa diff et condition à l'origine

Bonsoir à tous,

Je voudrais avoir les lumières des spécialistes des équa diffs sur le problème suivant :

Je m'intéresse à l'équation linéaire $xy^{''}+y^{'}+xy=0$.

J'en ai trouvé des solutions développables en série entière en l'origine.

Néanmoins, il semblerait qu'il existe une unique solution $f$ vérifiant $f(0)=1$. J'ai remarqué que cela impliquait forcément $f^{'}(0)=0$, mais le problème, c'est que je ne peux pas appliquer Cauchy-Lipschitz car mon équation n'est pas normalisée....

Comment peut-on alors prouver l'unicité d'une solution telle que $f(0)=1$ ?

Je remercie par avance tous ceux qui pourront m'aider.

Bonne soirée,

AlphaBeta

Réponses

  • Je précise que je ne veux pas l'unicité parmi les fonctions DSE(0), mais parmi toutes les fonctions deux fois dérivables...
  • Prends une solution (juste deux fois dérivable) qui vérifie $f(0) = 1$ et prends ta solution DSE $f_0$. On veut montrer que $f = f_0$.

    De même que tu as construit ta solution DSE, tu dois pouvoir construire une fonction $g$, DSE (centré en $1$) sur $\R$, solution de l'équa diff et telle que $g(1) = f(1)$ et $g'(1) = f'(1)$.
    Comme on peut appliquer Cauchy-Lipschitz sans souci sur $]0;+\infty[$, on a $f$ qui coïncide avec $g$ sur $]0;+\infty[$.

    En passant à la limite en $0$, on a $g(0) = f(0) = 1$. Donc $g$ est une solution DSE qui vérifie $ g(0) = 1$. Donc $g = f_0$ (parce qu'on a unicité de la solution pour les fonctions DSE).

    Et donc, $f$ coïncide avec $f_0$ sur $[0;+\infty[$. De même sur $]-\infty;0]$. Donc $f$ coïncide avec $f_0$ sur $\R$.

    En espérant ne pas m'être trompé...
  • Bonsoir Guego,

    Je vais essayer de rédiger ce que tu proposes pour voir si j'y arrive...

    Merci en tous cas pour ton aide,

    AlphaBeta
  • Bonjour,

    L'outil idéal pour ce genre de problème : le wronskien.

    Tu considères deux solutions \(f_1\) et \(f_2\) de l'équation différentielle sur un intervalle \(I\), et tu poses :
    \[\varphi(x) = x\bigl(f_1(x)f_2'(x)-f_1'(x)f_2(x)\bigr).\]
    Tu peux facilement établir que \(\varphi\) constante sur \(I\).
    Si \(I\) contient 0, tu en déduis que \(\varphi\) est nulle, puis que \(f_1\) et \(f_2\) sont proportionnelles.
  • Ah oui, ce brave wronskien ! C'est plus simple que ce que je propose.
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