Quotient par les homothéties-translations

Le barbu rasé
Le barbu rasé
dans Géométrie
Je crois que c'est mon premier post en géométrie.

Une amie m'a posé la question suivante :
Le groupe des homothéties-translations est un sous-groupe distingué du groupe affine. Est ce qu'on sait à quoi ressemble le groupe quotient ?

Je l'ai envoyé bouler en lui disant que je n'en avais évidemment aucune idée puisque je pense que la géométrie c'est moche et que j'aime pas, mais en vrai, ça me travaille un peu.

Toute remarque qui pourrait me mettre sur la voie serait appréciée. Allez, c'est bon, j'avoue, la géométrie c'est pas si moche.

Réponses

  • marco
    marco
    Bonjour,

    Je dirais le groupe des matrices de déterminant $1$ en dimension impaire,
    et de déterminant $1$ ou $-1$ en dimension paire.
  • marco
    marco
    En dimension paire, il faut peut-être quotienter par $\{Id, -Id\}$.
  • Eric Chopin
    Eric Chopin
    Je plussoies marco, je rajouterais juste ca donne $PSL(E)$ en dimension impaire, $PGL(E)$ en dimension paire.
    En gros ca donne les rotations, les operateurs lineaires diagonalisables avec pour valeurs propres $a$ et $a^{-1}$
    et les symetries qui ne coincident pas avec des rotations en dimension paire.

    A+

    eric
  • pldx1
    pldx1
    .
  • Eric Chopin
    Eric Chopin
    C'est vrai que ton post ressemble a un echantillon aleatoire de mots (disons que j'en ai distingué quelques uns) ....
    Bon je n'ai pas encore trouvé en quelle langue c'etait mais je vais bien finir par trouver ..
    ;-)

    A+

    eric
  • Le barbu rasé
    Le barbu rasé
    Merci marco et Eric. Je vais méditer vos réponses...

    pldx1 > le sous-groupe des translations ne me semble pas distingué dans le groupe affine...
  • egoroffski
    egoroffski
    Pourtant c'est le noyau du morphisme "partie linéaire" !
  • Le barbu rasé
    Le barbu rasé
    Très juste. J'aime vraiment pas la géométrie. :-(
  • Eric Chopin
    Eric Chopin
    LBR,
    Si $y = Mx+t$ avec $M$ application lineaire inversible
    alors $y = M( x+ M^{-1}t) $ donc on peut soit appliquer $M$
    puis translater de $t$ soit translater de $M^{-1}t$ et ensuite appliquer $M$ , donc ....

    a+

    eric
  • jpdx
    jpdx
    Soit un espace affine $E$ de direction $\vec{E}$. On a un morphisme de groupes
    $$\mathrm{GA}(E) \longrightarrow \mathrm{GL}(\vec{E})$$
    Le groupe des homothéties-translations est l'image réciproque du sous-groupe distingué $K^*\,\mathrm{id}_E$. Il est donc distingué et de plus
    $$\mathrm{GA}(E)/\mathrm{HT}(E) \approx \mathrm{GL}(\vec{E})/K^*\,\mathrm{id}_E = \mathrm{PGL}(E)$$
  • pldx1
    pldx1
    .
  • Le barbu rasé
    Le barbu rasé
    pldx1 a écrit:
    Tu t'es laissé bluffer par tout le baratin "affine".

    C'est gentil de me chercher des excuses, mais je crois vraiment que dès que je vois le mot "géométrie", je fais un court-circuit cérébral sur le premier énoncé venu (:D
  • pldx1
    pldx1
    .
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