idéal premier

Bonjour, il y a une équivalence qui n'est pas claire pour moi, la voici : $a_x$ est premier ssi $f$ est irréductible sur $K$.

$K$ désigne un corps, $a_x=\lbrace f\in K[X] \vert f(x)=0\rbrace$ un idéal de $K[X]$, et $f$ est l'unique générateur unitaire de $a_x$. On suppose également que $a_x\ne 0$ c'est-à-dire que $x$ est algébrique sur $K$.

Merci pour votre aide.

Réponses

  • En fait, l'idéal $a_x$ est toujours premier (cela provient du fait que K est intègre) et un générateur d'un idéal premier est toujours irréductible.
  • Merci pour ta réponse, je suis d'accord que $a_x$ est premier car $K$ est intègre on peut considérer pour cela l'homomorphisme d'anneaux évaluation en x et puis utiliser le théorème de factorisation. Pourquoi le générateur d'un idéal premier est tjrs irréductible, et pourquoi la réciproque ?
  • Si le générateur d'un idéal premier de K[X] n'était pas irréductible, que dire de ses facteurs qui sont de degré strictement inférieur ?
    En il n'y a pas de réciproque puisque les deux affrimations sont tout le temps vraies.
  • En général, dans un anneau factoriel $A$, on a équivalence entre "$(a)$ premier propre non nul" et "$a$ irréductible".

    (Remarque : "$(a)$ premier propre non nul" peut se reformuler "$a$ est premier non nul non inversible" si on appelle "premier" un élément $a$ pour lequel $a | bc$ implique $a | b$ ou $a | c$.)

    Le sens direct ne nécessite que l'intégrité de $A$ : si $a$ est premier et qu'on a $a=bc$, en particulier $a$ divise $bc$ donc $a$ divise $b$ ou $a$ divise $c$. Si par exemple $a$ divise $b$, on écrit $b=ak$ puis $a=bc=akc$ d'où $a(1-kc)=0$ et par intégrité puisque $a$ est non nul $c$ est inversible d'inverse $k$.

    Pour le sens réciproque on a besoin de la factorialité : si $a$ est irréductible et $a | bc$ on décompose $b$ et $c$ en produit d'irréductibles et par unicité de la décomposition $a$ doit apparaitre comme facteur de $b$ ou de $c$.

    Ici $K[X]$ est euclidien, donc en particulier factoriel, d'où ton équivalence.

    Tu t'intéressais sans doute plutôt au fait que ton $a_x$ est bien premier, mais cela résulte directement de l'intégrité de $K$ (si $f(x)g(x)=0$ alors...).

    Remarque : comme un anneau euclidien est aussi principal, tu as aussi $a_x$ maximal.


    PS : ah, tiens, grillé, bon bin tant pis. :)
  • Si \(a_x\) est premier : on suppose \(f=gh\), c'est un élément de \(a_x\), donc \(g\) ou \(h\) divisible par \(f\). Si, par exemple, \(g=fk\), on a \(f=fkh\), donc \(1=kh\) par intégrité, et \(h\) est inversible, ce qui établit que \(f\) est irréductible.
    La réciproque est tout aussi élémentaire.
  • Merci pour vos réponses, désolé gb mais pour la réciproque je ne vois pas. Supposons que $f$ est irréductible, on veut montrer que $a_x$ est premier. Soit $ab\in a_x$, supposons que $a\notin a_x$ montrons que $b\in a_x$ ce qui établira que $a_x$ est premier. On a $ab=fc$ et $a\ne fd$ pour tout $d$. Je n'arrive pas à conclure que $b\in a_x$.
  • Il suffit de relire la réponse du barbu : si \(ab = fc\), alors \(f\) apparaît dans la décomposition en facteurs irréductibles de \(ab\), donc divise \(a\) ou \(b\).
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