Idéaux maximaux

Utilisateur anonyme · March 2010

Bonsoir, je désire montrer l'équivalence suivante : Soit $A$ un anneau

$a\in A$ inversible ssi $a\notin\mathfrak{m}$ quelque soit $\mathfrak{m}$ idéal maximal de $A$

Il est clair que si $a$ n'est pas inversible $aA$ est un idéal propre donc comme $a\in aA$ et que tout idéal propre est contenu dans un idéal maximal alors il existe $\mathfrak{m}$ idéal maximal tel que $a\in\mathfrak{m}$. Ce qui montre par contraposée l'implication de droite à gauche. Pouvez-vous m'aider pour l'autre sens ?

Merci.

Le barbu rasé · March 2010

Heu... je suis très fatigué mais si a est inversible et appartient à un idéal $\mathfrak{m}$, alors $1=a^{-1}a$ appartient à $\mathfrak{m}$... et $\mathfrak{m}=A$ et aura donc du mal à être un idéal maximal propre.

Ça répond à ta question ?

Utilisateur anonyme · March 2010

Bonsoir, merci cela répond à ma question, si je comprends bien tu procèdes par l'absurde en abutissant à $\frac{A}{\mathfrak{m}}=\lbrace 0\rbrace$ qui n'est pas un corps ce qui contredit la maximalité de $\mathfrak{m}$.

Le barbu rasé · March 2010

Si tu veux, si ta définition de "$ \mathfrak{m}$ maximal" c'est "$A / \mathfrak{m}$ est un corps"...

Dans les présentations habituelles c'est plutôt une propriété (assez immédiatement équivalente à la définition).

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