Divison euclidienne sur un anneau de polynômes

Bonsoir, j'ai une petite question. La division euclidenne sur un anneau de polynômes $K[X]$ ne fonctionne t-elle (avec son théorème d'existence et d'unicité) que si $K$ est un corps ? Si oui, pourquoi $K$ ne peut être seulement un anneau intègre sans être un corps ?

Merci.

Réponses

  • Comment ferais-tu la division euclidienne de $3X^2+4X+2$ par $2X+1$ dans $\Z[X]$ ?
  • Merci Guego, j'ai compris.
  • Guego écrivait:
    > Comment ferais-tu la division euclidienne de $3X^2+4X+2$ par $2X+1$ dans $\Z$ ?

    par $X+1$ on peut...

    [La case LaTeX. :) AD]
  • DIsons qu'on ne peut pas gerer "2 divisions euclidiennes a la fois", pour faire une division euclidienne sur des polynomes il faut que tu puisses diviser les coeffiecients sans restrictions.

    En fait, sauf erreur un critere est le suivant : si A est un anneau (disons factoriel) alors tu peux effectuer une division euclidienne dans A si le coefficient du terme de plus haut degré du polynome par lequel tu divises est inversible dans A. Par exemple si tu travailles sur $\Z[X]$ et que tu divises par un polynome unitaire, le quotient et le reste seront aussi a coefficients entiers.

    Ensuite, si Q(A) est le corps des factions de A, tu as des resultats qui s'ils sont vrais dans Q(A)[X], le sont aussi dans A[X] (lemme de Gauss par exemple).
  • jobhertz a écrit:
    si A est un anneau (disons factoriel) alors tu peux effectuer une division euclidienne dans A si le coefficient du terme de plus haut degré du polynome par lequel tu divises est inversible dans A.

    La factorialité n'a en fait rien à faire ici. Si $A$ est n'importe quel anneau commutatif (même pas forcément intègre), on peut faire la division euclidienne dans $A[X]$ par un polynôme $U$ dont le coefficient dominant (celui du monôme de plus haut degré en $X$) est inversible dans $A$ : pour tout $P\in A[X]$, il existe un unique couple $(Q,R)$ d'éléments de $A[X]$, avec $\deg(R) < \deg(U)$, tel que $P=UQ+R$.

    Ca marche même sur un anneau non commutatif (par exemple $M_n(\C)$), si on précise de quel côté on fait la division ($UQ+R$ ou $Q'U+R'$).
  • Je complète ce que dit Ga? L'existence se montre de manière algorithmique comme dans le cas habituel.
    Pour l'unicité
    Si $P=U_1Q+R_1=U_2Q+R_2$, alors $(U_1-U_2)Q=R_2-R_1$.

    Même si $A$ a des diviseurs de zéros, on a toujours $deg((U_1-U_2) Q)=deg(U_1-U_2)+deg(Q)$, car le coeff. dominant de $Q$ est inversible. On conclut alors comme dans le cas classique.


    On a alors $P(a)=0\iff P=(X-a).Q$ pour un certain $Q$ , du moins lorsque $A$ est commutatif.

    Lorsque $A$ n'est pas intègre ou est un corps non commutatif, il y a quand même des choses amusantes qui se produisent.

    Par exemple, Si $A$ est commutatif quelconque, ce n'est pas parce que $a_1,...,a_n$ sont des racines distinctes de $P$ que $P$ est divisible par le produit des $X-a_i$.

    L'explication est simple:dans le cas général: soit $A$ commutatif non intègre. si $a\neq b$ sont deux racines de $P$: On a $P=(X-a)Q$, et donc $0=(b-a)Q(b)$, mais on ne peut pas en déduire que $Q(b)=0$, sauf si $b-a$ n'est pas pas diviseur de zéro.


    Exemple: $A=(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^2$ et $P=X^2$. Alors $P$ a 4 racines dans $A$: $(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)$. Mais $P\neq (X-(0,0))(X-(0,2))(X-(2,0))(X-(2,2))$.

    Autre exemple: dans le corps des quaternions $\mathbb{H}$, le polynôme $X^2+1$ a une infinité de solutions (n'importe quel quaternion de la forme $\frac{ai+bj+c ij}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ convient)

    Ici, c'est la non-commutativité qui fait tout foirer. On a par exemple $X^2+1=(X-i)(X+i)$, mais $(j-i)(j+i)=-2ij\neq 0$. En fait, l'application $\mathbb{H}[X]\to \mathbb{H}, P\mapsto P(j)$ d'évaluation n'est pas un morphisme d'anneau, car $b$ ne commute pas avec tous les éléments de $\mathbb{H}$.
  • Ga? écrivait:
    > Ca marche même sur un anneau non commutatif (par
    > exemple $M_n(\C)$), si on précise de quel côté on
    > fait la division ($UQ+R$ ou $Q'U+R'$).

    On peut faire une théorie des polynômes sur un anneau non commutatif ? Je ne m'étais jamais posé cette question.
  • Oui, il y a plusieurs théories. La plus utilisée est celle où l'indéterminée est centrale, c'est-à-dire que

    $aX=Xa$ pour tout $a\in A$.
  • pollux a écrit:
    On peut faire une théorie des polynômes sur un anneau non commutatif ? Je ne m'étais jamais posé cette question.

    On peut en faire deux : une avec l'indéterminée qui commute avec tout le monde, l'autre avec une indéterminée qui ne commute pas.


    [Ah, zut, grillé. :)]
  • Ok merci. Je vais me contenter des polynômes sur les anneaux commutatifs, j'ai déjà assez de mal comme ça ! (surtout lorsqu'il y a plusieurs indéterminées...).
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