mini des maxi et maxi des mini
Bonjour,
Soit l'exo suivant :
on a un tableau rectangulaire d'entiers.
On appelle $m$ le plus petit des plus grands éléments de chaque ligne.
On appelle $M$ le plus grand des plus petits éléments de chaque colonne.
Comparer $m$ et $M$.
Je sais plus où j'ai lu cet exo, dites-moi ce que vous en pensez (facile ou pas, public, intérêt).
Soit l'exo suivant :
on a un tableau rectangulaire d'entiers.
On appelle $m$ le plus petit des plus grands éléments de chaque ligne.
On appelle $M$ le plus grand des plus petits éléments de chaque colonne.
Comparer $m$ et $M$.
Je sais plus où j'ai lu cet exo, dites-moi ce que vous en pensez (facile ou pas, public, intérêt).
Réponses
-
Salut,
Je trouve que c'est un exo relativement intéressant, facile une fois qu'on a trouvé la bonne idée.. je ne sais pas trop si ma réponse apporte grand-chose mais bon
-
La grande difficulté de l'exo, c'est quand même le choix trompeur des deux lettres...
-
Yo,
Est-ce que ça : http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_du_minimax_de_von_Neumann pourrait répondre à ta question ?
C'est un produit de matrices, mais si on peut montrer que toute matrice s'écrit de cette forme, ça devrait être bon...
(j'suis une buse en algèbre, c'est pour ça que je ne peux pas répondre complètement à ta question
) -
Cet exercice est simple mais subtil.
La réponse est la suivante :
le maximum sur i des minimums sur j des ai,j
est toujours inférieur ou égal au
minimum sur j des maximums sur i des ai,j .
Indication : ai,j est commun à la ligne i et à la colonne j. -
Et si un des éléments du tableau est le plus petit de sa colonne et le plus grand de sa ligne, il y a égalité.
-
c.candide a écrit:facile ou pas, public, intérêt ?
C'est le premier exercice que je me rappelle avoir eu en sup. Il m'avait laissé l'impression que les maths post-bac c'est beaucoup d'astuce, mais je pense que si on passe du temps à chercher avant de lire une solution (j'avais eu l'énoncé et la solution quasiment dans la foulée) c'est un exercice vraiment intéressant (au sens où les exemples peuvent jouer un rôle pédagogique fort et même conduire à la solution). -
LBR a écrit:les exemples peuvent jouer un rôle pédagogique fort et même conduire à la solution
Je trouve au contraire qu'ici, il vaut mieux ne pas chercher d'exemples et foncer avec ordre et méthode sur le formalisme.
\begin{eqnarray*}
a_{ij}&\leq& a_{ij}\\
a_{ij} & \leq& \max_i a_{ij}\\
\min_j a_{ij} &\leq& \max_i a_{ij}\\
\min_j a_{ij} &\leq& \min_j \max_i a_{ij}\\
\max_i\min_j a_{ij} &\leq& \min_j \max_i a_{ij}
\end{eqnarray*}
Le passage d'une ligne à l'autre s'effectuant suivant les règles :
1) de "gauche $\leq$ droite" on déduit "gauche $\leq \max_i$ droite"
2) de "gauche $\leq$ droite" on déduit "$\max_i$ gauche $\leq $ droite" si $i$ n'est pas libre à droite
et les règles duales pour $\min$. -
> Je trouve au contraire qu'ici, il vaut mieux ne pas chercher
> d'exemples et foncer avec ordre et méthode sur le formalisme.
Mmmm... Je suis pas vraiment d'accord. A mon avis tu t'es lancé dans ta preuve (très efficace) alors que tu connaissais la réponse, ou alors tu as cherché les deux sens?
Et surtout, si tu ne bricoles pas sur des exemples, comment tu peux être sur que tu as fini l'exo et que par hasard $m$ et $M$ ne sont pas toujours égaux? -
Lucas a écrit:si tu ne bricoles pas sur des exemples, comment tu peux être sur que tu as fini l'exo et que par hasard $ m$ et $ M$ ne sont pas toujours égaux?
On peut sans peine remonter le cas d'égalité dans la suite des inégalités pour arriver à
$$\exists k \ \exists \ell \ \min_j a_{kj} = \max_i a_{i\ell}$$
qui montre que l'égalité est équivalente à la propriété indiquée par RAJ. -
Zo! a écrit:Je trouve au contraire qu'ici, il vaut mieux ne pas chercher d'exemples et foncer avec ordre et méthode sur le formalisme.
De toutes façons, tu fais rien qu'à jamais être d'accord avec ce que j'écris depuis hier
.
Bien sûr, tu es convainquant, et ta démonstration étaie bien ton propos. Cette démonstration m'a d'ailleurs parfaitement convaincu quand j'étais en sup... que les maths c'était beaucoup d'astuce (ce que je ne pense plus). Le problème, comme le suggère Lucas, c'est que ce que tu estimes être le résultat d'un sain formalisme délayé avec ordre et méthode révèle en fait ta profonde compréhension de ce que sont le min et le max. Mais je pense qu'un bachelier fraichement émoulu n'a pas le recul nécessaire pour trouver tes règles formelles naturelles, et je pense que cet exercice est précisément un excellent moyen pédagogique de lui en faire prendre conscience petit à petit, justement parce qu'il va tester des exemples.
C'est juste un point de vue. Après, je ne dis pas qu'on ne puisse pas comprendre aussi ce que sont le min et le max en étant bombardé de formalisme et en touchant du doigt peu d'exemples (j'ai même la prétention d'être plus ou moins la preuve vivante du contraire). Néanmoins, personnellement, j'essaie de ne pas enseigner ainsi. -
@Zo! : Il aurait été bien plus clair d'introduire une notation : $\displaystyle b_j=\max_i a_{ij},\ \ c_i=\min_j a_{ij}$. On a alors, de façon immédiate $c_i\le a_{ij}\le b_j$. Donc le plus grand des $c_i$ est plus petit que le plus petit des $b_j$. Le cas d'égalité vient alors tout seul.
L'excès de formalisme nuit gravement à la compréhension. -
Et pour ajouter à mon formalisme outrancier, je vois même une profonde analogie avec
$$\exists x\ \forall y \ A(x,y) \Rightarrow \forall y\ \exists x\ A(x,y)\;.$$
Cette dernière implication se comprend mieux que le bazar avec les min et max, mais c'est la même chose. -
Bonne nuit à tout le monde,
Cher c.candide,
Le résultat que tu évoques est très général. Soient X,Y des ensembles, et soit f: X x Y ----> lR U {+oo} une fonction arbitraire.
tt y € Y: f(x,y) =< supx€X f(x,y) ==> infy€Y f(x,y) =< infy€Y supx€X f(x,y)
==> supx€X infy€Y f(x,y) =< infy€Y supx€X f(x,y).
Evidemment, pour que les sup [resp. inf] soient des max [min] il faut des hypothèses supplémentaires.
Par exemple des hypothèses de compacité sur X et Y espaces topologiques.
Pour avoir l'égalité (importante en théorie des jeux, par exemple), il faut des hypothèses de type X,Y espaces normés et f convexe-concave (voir à: Théorèmes de Ky Fan).
Bien cordialement.
PS. Les mots-clefs sont th. inf-sup, min-max, point selle, théorie des jeux. -
X:-( pour une fois que je vais me faire le plaisir de "contredire" (très très légèrement) remarque: oui et non, je ne pense pas que là un autre choix des lettres puisse vraiment changer, vu que dans les 2 defs, les 2 notions interviennent (ah, ouii je vois ce que tu veux dire, le choix "par le gars" qui a posté l'exo, sorry... bon mais si on se laisse influencer par des lettres... )
Sinon, sur le fond, c'est un énoncé symétrique, si on change l'ordre ça donne pareil. En fait, c'est l'expression générale du fait que:
$\exists x\forall yRxy \to \forall y \exists xRxy$.
Sur le plan psychologique (je m'adresse à c.candidre), la "meilleure" façon peut-être de l'exprimer c'est de penser à un troisième (et un quatrième truc) qui se trouve entre les 2 termes:
min_x (max_y (f(x,y)) = max_s (min x f(x, s(x) ) ) $\geq $ max_(fonction seulement contantes s) (min_x f(x, s(x)) ) = max_y (min_ x f(x,y) )
Bon désolé pour la notations, tu poseras des questions si tu veux, mais je pense pas que tu postais l'exo pour des aides à la solution, mais plutôt pour des avis..
Derrière le égal, ce qui se trouve c'est une forme de suggestion de l'axiome du choix (premier signe "égal"):
Si t=min_x max_y f(x,y) alors il existe au moins une fonction s telle que t=min_x f(x, s(x)).
Mais dans ton exo, ce qui compte, c'est surtout que pour toute s, $t\geq$ min_x f(x,s(x))
à forciori pour toute s constante (par exemple si tu prends $s:x \mapsto 50$, of course, $t\geq min_x f(x,50)$)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
loooooool j'aurais dû lire le fil avant de poster, désolé d'avoir fait l'écho montagnard avec 24h de retard... X:-(Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Bon allez, pour me faire pardonner:
on considère un damier carré de 100×100 cases dans lesquelles sont écrites des nombres. Prouver qu'il existe une case c et 2 chemins "continues" (l'un C1 qui va de gauche à droite (qu joint les bords) et l'autre C2 de haut à bas et qui se croisent en c et tels que le nombre N écrit en c est le plus grand des nombres écrits sur le chemin C1, en même temps qu'il est le plus petit des nombres écrits sur le chemin C2(Théorème de Brouwer)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
zephir écrivait:
> @Zo! : Il aurait été bien plus clair d'introduire
> une notation : $\displaystyle b_j=\max_i a_{ij},\
> \ c_i=\min_j a_{ij}$. On a alors, de façon
> immédiate $c_i\le a_{ij}\le b_j$. Donc le plus
> grand des $c_i$ est plus petit que le plus petit
> des $b_j$. Le cas d'égalité vient alors tout
> seul.
> L'excès de formalisme nuit gravement à la
> compréhension.
Tout à fait de cet avis et c'est ainsi que j'entendais l'exercice. J'aurais même dit sans aucun indice la chose suivante : soit $a$ le max d'une ligne donnée et $b$ le min d'une colonne donnée et soit $z$ à l'intersection de la dite-ligne et de la dite-colonne :
$a\geq z$ et $b\leq z$ donc $a\geq b$. Le fait ensuite qu'on prenne le min des $a$ et le max des $b$ n'est que du bruit.
EDIT : rectification de la coquille signalée par Zo! -
Il faut tout de même remarquer que toutes les démonstrations données sont exactement les mêmes. Seul change l'habillage, à savoir est-ce qu'on explicite les indices ou qu'on les cache soigneusement. C'est normal, il n'y a qu'une seule démonstration parce que que la seule chose qu'on met en jeu est les propriétés de min et max (ou inf et sup, ou $\forall$ et $\exists$).
Après, la présentation va de la mécanisation totale de la preuve (telle que je l'ai écrite) au presque tout sous le tapis (du genre "Le fait ensuite qu'on prenne le min des $ a$ et le max des $ b$ n'est que du bruit"). On pourra discuter sans fin de l'intérêt pédagogique de telle ou telle approche.
Il ne m'en semble pas moins intéressant et formateur d'expliciter les règles d'introduction de min et max à gauche et à droite des inégalités, de les voir fonctionner mécaniquement ici, et de s'apercevoir que cette mécanique est exactement la même que celle qui gouverne $\forall$ et $\exists$. -
Zo! a écrit:Après, la présentation va de la mécanisation totale de la preuve (telle que je l'ai écrite) au presque tout sous le tapis (du genre "Le fait ensuite qu'on prenne le min des a et le max des b n'est que du bruit"). On pourra discuter sans fin de l'intérêt pédagogique de telle ou telle approche.
Merci de ne pas confondre les deux discours.
zephir et c.candide manifestent qu'ils n'apprécient pas ta rédaction de la démonstration, parce qu'elle nuit d'après eux à la compréhension par rapport à une démonstration "plus informelle". Il s'agit donc de compréhension. Je ne vois pas le rapport avec la pédagogie : zephir et c.candide ne découvrent pas les concepts dont il est question.
Moi ta rédaction je la trouve très bien. Comme tu le dis, on peut faire des variations à l'infini, mais au niveau de l'articulation des règles formelles, ta présentation est la moins opaque, donc en un sens la plus claire. Ce que je dis n'a rien à voir : je répondais à la question originelle sur l'intérêt de l'exercice.
Bien sûr que l'élève de sup qui découvre cet exercice doit rédiger comme ça la solution. Mais si, avant de le faire, il ne se casse pas un peu les dents sur quelques exemples, alors que lui aura apporté cet exercice ? Rien. Au pire, ça l'aura conforté dans son idée que les maths n'ont pas de sens.
"Mais ce n'est qu'une traduction d'un énoncé logique à base de quantificateurs que l'on comprend parfaitement : c'est de cela qu'il faut faire prendre conscience aux élèves", dis-tu (corrige-moi si je trahis ta pensée). Sauf que non, parce que le public naturel de cet exercice ne s'est pas encore familiarisé avec la logique formelle non plus. L'analogie (ou plutôt l'identité) entre les deux versions de l'exercice devra venir plus tard, si on veut qu'elle soit profitable.
Bien sûr, tu peux botter en touche et ne pas me répondre sur le fond, comme suite à mon précédent message. En plus, t'as raison, on peut gloser à l'infini sur le forum sur ce qui est pédagogique ou ne l'est pas, ça ne sert pas à grand-chose. Mais ta première réponse m'a vraiment électrisé, parce que, que ce soit ton opinion ou pas (et je suis sûr que ça ne l'est pas), il y a une certaine tradition dans l'enseignement de la discipline qui consiste à dire "les exemples, c'est démagogique : les maths sont formelles", et c'est un peu ça qui ressort. Moi, je pense que les maths sont formalisables, et pas formelles par essence, et que manipuler des exemples ça aide à comprendre et à apprendre, alors que manipuler seulement le formalisme... (est-ce que je gagne un point Godwin si j'évoque le cas de Pablo ?) -
Tu dis toi-même :LBR a écrit:Cette démonstration m'a d'ailleurs parfaitement convaincu quand j'étais en sup... que les maths c'était beaucoup d'astuce
Justement, je prétends que cette démonstration est le parfait exemple d'une démonstration sans aucune astuce. On ne peut pas s'empêcher de faire ce qu'on fait pour comparer les deux expressions qui sont $\min_i\max_ja_{ij}$ et $\max_j\min_i a_{ij}$ (si on suit bien de l'énoncé de c.candide)..
Je m'explique, quitte à être super-lourd. On ne connaît rien de rien sur les nombres $a_{ij}$. La seule chose dont on peut partir c'est
$$a_{ij} \leq a_{ij}\;.$$
Comment progresser à partir d'ici vers les expressions proposées? Les seules possibilités sont d'introduire un $\min_i$ (à gauche) ou un $\max_j$ (à droite). Choisissons la première. Comme on muettifie la variable $i$ à gauche, faisons le pour de vrai.
$$ \min_\clubsuit a_{\clubsuit j}\leq a_{ij}\;.$$
La seule possibilité pour continuer est d'introduire un $\max_j$, et on ne peut le faire qu'à droite.
$$ \min_\clubsuit a_{\clubsuit j}\leq \max_\diamondsuit a_{i\diamondsuit}\;.$$
On a maintenant deux possibilités : introduire un $\max_j$ à gauche, ou un $\min_i$ à droite. Choisissons la deuxième.
$$ \min_\clubsuit a_{\clubsuit j}\leq \min_\heartsuit\max_\diamondsuit a_{\heartsuit\diamondsuit}\;.$$
La dernière étape est complètement contrainte.
$$\max_\spadesuit \min_\clubsuit a_{\clubsuit \spadesuit}\leq \min_\heartsuit\max_\diamondsuit a_{\heartsuit\diamondsuit}\;.$$
Les choix alternatifs qu'on aurait pu faire aux étapes 1 et 3 ne modifient pas essentiellement la preuve.
A mon avis, adopter une présentation qui laisse penser que cet exercice nécessite de l'astuce est une tromperie sur la marchandise. Ca tient alors du prestidigitateur qui ne dévoile pas le ressort de son tour de passe-passe, même s'il est bien que dans un premier temps il fasse son tour sans le trahir. Mais si le but est que les spectateurs puissent refaire le tour, il est utile de leur en expliquer les ficelles. -
bonjour,
je suis assez d'accord avec c.candide, il y a quand même un peu de malice dans l'énoncé, qui aurait été démasquée si l'on avait dit (par exemple) : soit mi le plus petit élément de la ligne i et Mj le plus grand de la colonne j. Comparer le plus beau des mi avec le plus laid des Mj. Là, il n'est plus question de min-max, de quantificateurs, de dualité ou que sais-je -
J'ai seulement lu les derniers avis sur ce qui semble être une controverse. Sans vouloir m'attirer les foudres, je me rangerais sur cet exo-là, du côté de Zo
Il fait partie des énoncés qui sont des cas particuliers d'évidence d'une manière violente et rappelle une nature profonde des maths qui est que c'est toujours le cas. Une évidence logique se voit, un de ses cas particuliers, on peut mettre longtemps à s'apercevoir qu'il est une tautologie.
Sans évoquer une ligne générale ou une idéologie générale, dans son cas, je serais relativement pour dire que les exemples éloignent, via lui (cet exo particulier) plus que rapprochent de la nature des maths. Il y a des cas où traiter des exemples, "physicaliser"la recherche d'une preuve est pertinent, mais ici, non, il ne me semble pas, à cause du côté "K" (je rappelle que "K" est un combinateur qui réalise l'axiome logique $A\to (B\to A)$) que bien des gens ont tendance à "refuser" parfois instinctivement, quelques secondes, avant de l'accepter.
Vue la longueur du fil je n'ai pas cherché où se trouve la "preuve mécanique"*** (dixit) de Zo, mais je pense qu'elle était la seule vraiment "didactique" en ce que le but (aussi) de la science est de prendre conscience de sa nature hypothético déductive "formelle". L'appel aux exemples a une pertinence heuristique pour la phase de recherche, mais ici, ce serait trompeur de "constater" (ce qui a toujours tendance à enfoncer le truc dans un label empirique) le truc ou de lui donner un apparat de loi de la nature. Pour les parallélogrammes et le milieu de leur diagonale, why not, mais là...
[size=x-small]*** c'est d'ailleurs plus généralement valable avec inf et sup et un ordre quelconque (pas forcément total) qui a des bornes inf et sup:
En notant M(i) := inf_k des a(i,k)
et T(k) := sup_i des a(i,k)
la borne sup des M(i) est inférieure ou égale à la borne inf des T(k) car TOUT M(i) est inférieur ou égal à TOUT T(k)
En effet, M(u) est plus petit que a(u,v) qui lui-même est plus petit que T(v)[/size]
D'ailleurs, je pense que "constaté" empiriquement le phénomène ne donne rien d'autre que "bin, voui ça l'air vrai". -
@ Zo! -> Je ne réponds pas à CC, je connais suffisamment ses opinions sur l'enseignement pour ne pas souhaiter en débattre avec lui. Néanmoins j'aimerais te citer le passage suivant de son post :cc a écrit:L'appel aux exemples a une pertinence heuristique pour la phase de recherche, mais ici, ce serait trompeur de "constater" (ce qui a toujours tendance à enfoncer le truc dans un label empirique) le truc ou de lui donner un apparat de loi de la nature.
car c'est une phrase parfaitement significative de la façon de penser que je décrivais précédemment, et qui, excuse-moi, Zo!, est ce qui ressort (certes de façon moins frappante) de tes posts.
Dans cet exercice en particulier, l'exemple n'a pas vocation à faire intuititer le résultat, mais à comprendre ce qu'il signifie. A l'inverse, la manipulation des règles formelles n'est naturelle que parce qu'on a compris ce qu'elles signifient.
Par exemple, on est habitué à manipuler des suites à double indice depuis si longtemps qu'on ne se rend même plus compte que ça pose des difficultés réelles et intrinsèques à un élève qui les découvre. L'exploration d'exemples sert à dépasser ça (j'ose l'écrire, plus que des trèfles, des cœurs et des carreaux).
Schématiquement, je dis ça : prends deux groupes de bacheliers fraichement émoulus et donne l'exercice à chaque groupe, mais avec la consigne explicite, pour les membres du premier groupe, de donner deux exemples avant, et avec la consigne explicite, pour les membres du second groupe, de ne chercher surtout aucun exemple. Je prétends qu'une partie importante des membres du premier groupe vont naturellement penser à dérouler ta démonstration (sans doute avec des mots à la place des doubles indices, mais ça ne change rien) justement parce qu'ils auront compris de quoi ils parlent, contrairement aux membres du second groupe.
Pour te répondre sur la question de l'astuce : je pense que mon professeur à l'époque m'avait déroulé la démonstration aussi bien que tu l'as fait. Là où j'avais ressenti de l'astuce, ça n'était sans doute pas dans le déroulement qui suit la décision d'appeler ai,j l'élément en ligne i colonne j, mais bien dans le fait de noter ai,j l'élément en ligne i colonne j. C'est plutôt ça qu'il aurait fallu qu'il me justifie comme étant naturel. Et encore une fois, j'insiste, je pense que j'aurais trouvé que ça allait de soi si j'avais regardé quelques exemples avant, qui m'auraient parfaitement illustré la nécessité (ou du moins l'avantage) de nommer l'élément en ligne i colonne j.
Dans mes trois derniers posts (j'inclus celui-ci), j'ai écrit trois fois la même chose. J'insiste, parce que tu ne prends pas acte de mon propos (en tout cas dans le fil) et que je veux être certain que tu l'aies compris.
Mais c'est vraiment parce que c'est toi. -
Le magazine tangente s'était fait l'écho d'un article d'une certaine J.Kaminsky tenant le pari contre toi sur un protocole, je pense, similaire, LBR. Comme je l'avais publié, je me rappelais du nom j'ai tapé sur google et ouf, j'ai retrouvé un lien:
http://www.apprendre-en-ligne.net/blog/index.php/2008/04/26/944-les-exemples-mauvais-outils-d-apprentissage-des-mathematiques
Par ailleurs, statistiquement (sans chercher à tout mesurer bien sûr), j'ai remarqué plutôt aussi moi-même sur 15ans de pratique d'enseignement, une "tendance" opposée" à ce que tu parie, du moins me semble-t-il.
Précisément, avec ton propre "défi", je parie sur un meilleur accès de ton second groupe. Je suis prêt à essayer. -
Ils sont droles les américains, ils présentent de l'arithmétique avec des exemples alors que je jure que l'exercice aurait été de l'analyse comme dans le cas de notre fil, les résultats auraient été inversés!
Les exemples sont au coeur de la méthode d'analyse-synthèse de prépa mais en algèbre, c'est la manière forte qui prime.
J'imagine mal étudier les fonctions réelles ou complexes ou les équa-diff sont avoir de courbes sous les yeux (ou dans l'imagination), de même pour la géométrie, mais pour l'algèbre et les nombres, peut-etre que je suis le seul à travailler de cette manière, mais avant même de prendre le stylo pour écrire, les grands points de la démonstration ont déja été traités mentalement sans recourir à une quelconque visualisation.
En gros, je n'ai quasiment jamais lu les démonstrations des théorèmes l'analyse, alors qu'en algèbre c'est entièrement le contraire.
J'ai un bon souvenir de taupin sur la continuité uniforme que j'avais compris à l'aide d'un dessin au tableau du prof, mais lors de la réduction des endomorphismes, j'avais horreur de tous les exos que je trouvais pas assez convaincant temps que je n'assimilais pas la démonstration. -
Je n'ai jamais accordé un grand crédit aux statistiques, par contre, j'espère pouvoir accorder du crédit aux contraintes qu'elles s'infligent: autrement dit, s'ils ont publié ce truc, j'espère qu'ils avaient avant pris la précaution, à défaut que ce soit vrai de prévoir les écueils du genre de ceux dont tu parles (ou de ceux évoqués dans les posts-réponses sur le sute du "coyote" qui a mis ça en ligne).
En ce qui me concerne, je ne me suis bien évidemment pas restreint à de l'arithmétique (là dessus je suis au dessus de tout soupçon vu ma haine profonde de tout calcul).
Sur un très long terme, il me semble arriver à la même conclusion, d'ailleurs assez sado-maso: quand c'est "tranquille" il ne se passe rien, pas de réels élévation de l'élève ou étudiant, et c'est constaté vite ensuite. Les exemples semblent, plutôt qu'aider, offrir un statu quo un peu pervers qui permet au couple enseignant-enseigné de fumer le calumet de la paix plus qu'autre chose, en restant dans leur rôle respectifs d'interdépendance assis sur un compromis un peu hypocrite: le "maitre" restant le prestidigitateur, l'esclave acceptant "d'exécuter" quelques rondes apprises.
Les "statistiques" artisanales que j'ai me l'ont ultraamplement confirmé, alors que je ne les attendais d'ailleurs pas du tout. Je n'ai pas la maitrise du processus à part que je me semble l'avoir constaté.
Je crois qu'une erreur (un peu subtile) qui est faite est la suivante: ceux qui se prononcent un peu idéologiquement pensent à eux et confondent 2 stades: l'un qui se trouve avant le déclic et l'autre après. Comme ils sont dans l'après déclic, ils préfèrent les exemples, car sont capables de les "domestiquer", mais du fait même justement qu'ils ont opéré une sorte de "dépucelage" de leur "hémisphère droit". Ils étendent alors cette préférence (qui génère agrément et plaisir et est donc redemandée) au stade de leurs "étudiants", en considérant que ce qui est bon pour l'auteur est bon pour le lecteur. C'est probablement là que se situe une sorte d'erreur des pro-exemples.
C'est un mécanisme de trnasition de phase en quelque sorte, qui n'a l'air de rien mais où beaucoup se joue: j'ai tort si passer de l'avant déclic à l'après déclic est facile (fossé étroit à sauter) et sinon j'ai raison (ce saut pour s'effectuer nécessite un choc et l'exemple sert surtout de prétexte à ne jamais sauter).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Sinon, pour ajouter que j'ai donné cet exo dans un contrôle continu sur les relations d'équivalence et les relations d'ordre pour des étudiants de maths + info de L1. Sur 30 copies, aucune réponse correcte, la plupart se contentent :
-- de choisir un ou deux exemples et d'observer l'inégalité,
-- et/ou de produire un discours incohérent.
Inutile de dire qu'un démonstration telle que celle de Zo! leur serait totalement incompréhensible et ne ferait que les paralyser davantage. A leur décharge, je me rappelle que j'en avais bavé la première fois que j'ai fait cet exo et justement, il m'a paru clair quand j'ai eu évacué le bruit dont je parlais dans mon précédent message.
Par contre pour trouver des classes d'équivalence ou faire un diagramme de Hasse, ils se sont bien débrouillés ... -
Est-ce que tu peux me mettre un lien vers la preuve de Zo dont tu parles qui est tant l'objet de débats?
Je me demande si là ton constat vient juste du fait qu'ils ne savent le sens de "prouver" et que ce n'est pas cet exo-là qui est en cause.
Je réécris en gros ce que j'ai écrit en petit au post d'avant:
M(i):= le plus petit des a(i,j) pour j variant dans F $\leq $ a(i,j) $\leq $ au plus grand des a(i,j) pour i vairant dans E=:T(j).
Donc $M(i)\leq T(j)$ pour tout i,j
Donc le plus grand de $M(i)$ est plus petit que le plus petit des $T(j)$
Dans l'évidence $((C\to A)\to
\to (A\to $, si tu remplaces (lool exemple) A,B,C par des phrases très très longues, tu peux être tranquille que les gens mettront énormément de temps à s'apercevoir que c'est évident. Dans l'exo, idem: un bon gros tableau + l'invitation à bien le regarder = faire diversion pour rendre l'exo "difficile". N'importe qui peut s'y faire prendre, par exemple, en remplaçant l'ordre par une relation transitive quelconque peu exhibée. Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je crois que j'ai trouvé le post de Zo:Je trouve au contraire qu'ici, il vaut mieux ne pas chercher d'exemples et foncer avec ordre et méthode sur le formalisme.
\begin{eqnarray*}
a_{ij}&\leq& a_{ij}\\
a_{ij} & \leq& \max_i a_{ij}\\
\min_j a_{ij} &\leq& \max_i a_{ij}\\
\min_j a_{ij} &\leq& \min_j \max_i a_{ij}\\
\max_i\min_j a_{ij} &\leq& \min_j \max_i a_{ij}
\end{eqnarray*}
Le passage d'une ligne à l'autre s'effectuant suivant les règles :
1) de "gauche $\leq$ droite" on déduit "gauche $\leq \max_i$ droite"
2) de "gauche $\leq$ droite" on déduit "$\max_i$ gauche $\leq $ droite" si $i$ n'est pas libre à droite
et les règles duales pour $\min$.
Mais je vois ce que vous lui "reprochez" et à mon avis c'est "hors-thème". C'est parce qu'il a "officialisé" l'énoncé "juridique" (en disant "n'est pas libre à droite ", etc, etc, par exemple) et inconsciemment, c'est porteur d'une certaine peur, et ça peut réveiller inconsciemment des hostilités, et le côté "révolutionnaire" de chacun, à cause du lourd passé historique que nous avons (je parle sérieusement!). Je viens d'aller voir la rafle au ciné.
Souvent en maths on dit "non, là on n'a pas le droit de", mais "là par contre on a le droit". Et c'est vrai que y aun malaise: une manière compulsive de l'exprimer (et de laver sa conscience) peut être de demander les exemples en mariage. Je suis sérieux... Tant qu'à se demander "pourquoi" à des questions pédago, autant bien y regarder.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Pour enfoncer le clou, je dirais que l'invite de LBR est une invite (à travers son rappel que le sens doit être vu derrière le formel) à "justifier" en quelque sorte "même la règle logique"***, mais inconsciemment, cette volonté me semble aussi relever du "non, on ne vous martirise pas pour rien" que j'ai évoqué ci-dessous.
*** Et comme Zo en offre une explictement qui a l'air très sérieuse (avec "n'est pas libre") et très "savante"...
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
CC a écrit:Le magazine tangente s'était fait l'écho d'un article d'une certaine J.Kaminsky tenant le pari contre toi sur un protocole, je pense, similaire, LBR. [...] Par ailleurs, statistiquement (sans chercher à tout mesurer bien sûr), j'ai remarqué plutôt aussi moi-même sur 15ans de pratique d'enseignement, une "tendance" opposée" à ce que tu parie, du moins me semble-t-il.
Il faut croire que tu as les mêmes élèves qu'elle, et que vous n'avez pas les mêmes que moi.
Encore une fois, même si le nombre d'élèves du second groupe qui écrivent la preuve correcte est supérieur à celui du premier groupe, est-ce que l'exercice aura autant apporté aux individus de ce groupe qu'aux autres ? Mais je n'y crois pas.
J'étais schématique et je n'envisageais pas de faire réellement ce test en grandeur nature quand je l'ai proposé. Finalement, à la réflexion, j'aimerais vraiment faire ce test en vrai, mais je ne crois pas pouvoir l'organiser. Si tu y arrives toi, n'hésite pas, je suis curieux de voir ce que tu obtiendras (y compris si ça me donne tort). Attention, cet exercice, hein, pas un autre. En fait je vais essayer de faire l'expérience avec mes élèves, sur la base du volontariat... mais quand, ça, c'est pas gagné... -
ce que l'exercice aura autant apporté aux individus de ce groupe qu'aux autres ?
Oui, mais ça c'est très compliqué et très ambigu: parce qu'en plus il y a la longueur du terme: sur le court terme, un "traumatisme" ou une violence" pédagogique est toujours vécue négativement. Mais, c'est pas si simple avec le long terme, dans la mesure, comme je l'ai dit, où il se produit peut-être un truc qui ressemble à un "dépucelage" de "l'hémisphèse droit". après ce n'est qu'une idée personnelle je le reconnais... Donc la notion "d'apporter"...
Il est certain que dans l'enseignement des sciences, il ya un aspect culturel qui vient s'ajouter à la mesure. Ce dont je parle n'apporte pas forcément "en culture générale"Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
CC a écrit:Souvent en maths on dit "non, là on n'a pas le droit de", mais "là par contre on a le droit". Et c'est vrai que y aun malaise: une manière compulsive de l'exprimer (et de laver sa conscience) peut être de demander les exemples en mariage. Je suis sérieux...
Encore une fois, je ne parle pas de ça.
J'ai le sentiment d'avoir été clair. Je ne comprends pas pourquoi tu dénatures mes propos ainsi (peut-être parce que justement, tu es si souvent face à ce discours que tu crois l'identifier immédiatement quand quelqu'un énonce le mot "exemple" ?). -
Je n'ai pas la volonté de dénaturer tes propos. Du coup, je les relirai plus lentement.tu es si souvent face(??) à ce discours
Bin, non, je ne crois pas, je ne fais qu'enseigner, je suis rarement en position "d'écouter" quelqu'un qui m'énonce un "droit", enfin je pense, à part quand je viens sur le forum et que je lis des posts peut-être...
Mais de toute façon, je pensais proposer une analyse plus synthétique, pas un témoignage. Peut-être que le (bon) film que j'ai vu m'a fait penser à ça. La vie des axiomes dans l'enseignement de toute façon ne peut manquer de faire penser à cette problématique de toute façon, ne serait-ce que pour la dépasser et la comprendre: utiliser un axiome, c'est in fine, essayer de prouver qu'il est faux, et donc une jouissance et non une entrave législative.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Zo! écrivait:
> Je trouve au contraire qu'ici, il vaut mieux ne
> pas chercher d'exemples et foncer avec ordre et
> méthode sur le formalisme.
\begin{eqnarray*}
a_{ij}&\leq& a_{ij}\\
a_{ij} & \leq& \max_i a_{ij}\\
\min_j a_{ij} &\leq& \max_i a_{ij}\\
\min_j a_{ij} &\leq& \min_j \max_i a_{ij}\\
\max_i\min_j a_{ij} &\leq& \min_j \max_i a_{ij}
\end{eqnarray*}
>
> Le passage d'une ligne à l'autre s'effectuant
> suivant les règles :
>
> 1) de "gauche $\leq$ droite" on déduit "gauche
> $\leq \max_i$ droite"
> 2) de "gauche $\leq$ droite" on déduit "$\max_i$
> gauche $\leq $ droite" si $i$ n'est pas libre à
> droite
>
> et les règles duales pour $\min$.
Je viens de regarder ton raisonnement ou plutôt ton automate et sa grammaire. C'est ce que j'appelle de l'obfuscation de raisonnement. Pour faire ce genre de raisonnement, même s'il est relativement classique en maths, il faut en avoir vu des situations et des situations avant de les intégrer et les reproduire. Tu places le raisonnement à un niveau d'abstraction inutile puisque comme je l'ai dit, la substance de cet exercice est presque vide à savoir pour que $a\leq b$ il suffit qu'il existe $z$ tel que $a\leq z$ et $z\leq b$ (comme indiqué par D. Saada) et cachée par du bruit.
D'ailleurs, ton raisonnement court-circuite (pour donner l'impression que tu fais "court") cette étape qui dans ton enchaînement se trouveà la ligne 3 : ta présentation pourrait faire croire que la ligne 3 résulte de la ligne 2 alors qu'en fait elle résulte de la ligne 1 (et n'est que le pendant mais pour le min de ta ligne 2) et de la ligne 2 et pour la raison déjà indiquée : l'essentiel de cet exo est qu'on peut comparer les deux objets (min du max et max du min) car il y a un élément intermédiaire entre eux. Tes trois dernières lignes sont du bruitage de raisonnement. -
c.candide a écrit:Sur 30 copies, aucune réponse correcte, la plupart se contentent :
-- de choisir un ou deux exemples et d'observer l'inégalité,
-- et/ou de produire un discours incohérent.
Inutile de dire qu'un démonstration telle que celle de Zo! leur serait totalement incompréhensible et ne ferait que les paralyser davantage.
Il semble en tout cas que la considération d'exemple ne soit pas suffisante ici. Alors, quelle méthode proposes-tu pour que les étudiants s'en sortent mieux?
Je ne suis sûr de rien, mais j'ai l'impression qu'on n'insiste pas assez sur la compétence "construire et mener à son terme un discours formalisé utilisant quelques règles simples". Il ne s'agit pas bien sûr de demander aux étudiants de produire eux-mêmes ces règles simples, mais de les énoncer et d'essayer de les convaincre qu'une utilisation rigoureuse et méthodique de ces règles fournit un guide pour arriver à un raisonnement complet, qu'ils semblent incapables de produire sinon.
Je vois ça par exemple en algèbre linéaire "abstraite", par exemple pour un exercice du genre "démontrer que $f^2= 0$ si et seulement si $\mathrm{Im}(f)\subset \ker(f)$". Ici aussi on trouve souvent soit un blocage ("je ne vois pas quoi faire") soit un discours délirant. Je pense qu'il est bon de rabacher qu'il faut commencer par traduire mécaniquement (et rigoureusement) : $\mathrm{Im}(f)\subset \ker(f)$ veut dire $\forall x (x\in \mathrm{Im}(f) \Rightarrow x\in \ker(f))$, $x\in \mathrm{Im}(f)$ veut dire $ \exists y\ f(y) = x$, $x\in \ker(f)$ veut dire $f(x)=0$ etc. Pas d'inspiration, pas d'astuce, mais de la méthode. -
c.candide a écrit:ta présentation pourrait faire croire que la ligne 3 résulte de la ligne 2 alors qu'en fait elle résulte de la ligne 1 (et n'est que le pendant mais pour le min de ta ligne 2) et de la ligne 2
Alors c'est que tu n'as pas compris
La passage de la ligne 2 : $a_{ij} \leq \max_i a_{ij}$ à la ligne 3 $\min_j a_{ij} \leq \max_i a_{ij}$ se fait par application de la règle : De "gauche $\leq$ droit" on peut déduire "$\min_j$ gauche $\leq$ droit", point barre. Faut il que j'explique pourquoi cette règle est correcte?
Je suis content, j'ai appris un mot : obfuscation. -
Zo! écrivait:
> Il semble en tout cas que la considération
> d'exemple ne soit pas suffisante ici. Alors,
> quelle méthode proposes-tu pour que les étudiants
> s'en sortent mieux?
Difficile de répondre. D'abord, il faudrait que je les interroge individuellement pour savoir pourquoi ils sont restés secs devant cet exo. Il peut y avoir de nombreuses raisons, par exemple, c'était le dernier du contrôle, ou encore ils n'ont pas vraiment saisi le sens de la question. Ensuite, je voudrais tester l'exo sur des étudiants plus expérimentés (de L3). Je voudrais même demander à des collègues comment ils feraient.
Bien sûr j'aurais pu donner une indication. Je ne l'ai pas fait car il fallait entrer dans trop de détail pour que l'indication devienne pertinente. Mon impression est que les étudiants ont été saturés par la masse et la complexité des informations de l'énoncé : on prend des max puis un min puis des min et un max et cela orthogonalement. Il fallait qu'ils sachent filtrer l'information et visiblement ils ne savent pas encore le faire.
En fait cet exo n'avait pas sa place en temps limité. Je pense qu'en étudiant un nombre suffisamment important d'exemples, on pouvait peut-être leur faire sortir collectivement une solution.
> Je ne suis sûr de rien, mais j'ai l'impression
> qu'on n'insiste pas assez sur la compétence
> "construire et mener à son terme un discours
> formalisé utilisant quelques règles simples".
Je crois que tu sous-estimes les résistances à intégrer le formalisme.
Une suite double, un max de liste (sans parler d'une borne sup) font monter la tension cardiaque de l'étudiant lambda. J'ai presque envie de donner ta "démonstration" comme devoir aux étudiants juste de décrypter histoire de voir leur réaction.
Par ailleurs, comment un étudiant va-t-il savoir à l'avance que telle démo est de type formelle ou au contraire qu'elle est de type "sémantique" ? On leur dit sans cesse de faire attention à la nature des objets, qu'un vecteur n'est pas une droite, qu'une suite n'est pas un nombre, etc. Donc tantôt il faut faire attention au sens et tantôt il faut complètement l'ignorer et raisonner "en aveugle".
> Il
> ne s'agit pas bien sûr de demander aux étudiants
> de produire eux-mêmes ces règles simples, mais de
> les énoncer et d'essayer de les convaincre qu'une
> utilisation rigoureuse et méthodique de ces règles
> fournit un guide pour arriver à un raisonnement
> complet, qu'ils semblent incapables de produire
> sinon.
Oui, c'est ce qu'on dit si on a X années d'expérience ou qu'on est un sujet assez doué. Moi je te parle du public moyen (étudiant lambda dans une fac, même bosseur).
> Je vois ça par exemple en algèbre linéaire
> "abstraite", par exemple pour un exercice du genre
> "démontrer que $f^2= 0$ si et seulement si
> $\mathrm{Im}(f)\subset \ker(f)$". Ici aussi on
> trouve souvent soit un blocage ("je ne vois pas
> quoi faire") soit un discours délirant. Je pense
> qu'il est bon de rabacher qu'il faut commencer par
> traduire mécaniquement (et rigoureusement) :
> $\mathrm{Im}(f)\subset \ker(f)$ veut dire $\forall
> x (x\in \mathrm{Im}(f) \Rightarrow x\in \ker(f))$,
> $x\in \mathrm{Im}(f)$ veut dire $ \exists y\ f(y)
> = x$, $x\in \ker(f)$ veut dire $f(x)=0$ etc. Pas
> d'inspiration, pas d'astuce, mais de la méthode.
Je crois que tu ne t'es même pas interrogé sur la complexité que peut représenter pour un étudiant de L1 ce genre de raisonnement.
Alors, oui, je suis confronté tous les jours à ce genre de problème. Il faut plusieurs semestres aux étudiants pour qu'ils acquièrent ce genre de schémas (et souvent on leur demande d'en acquérir de nouveaux alors les anciens ne sont en fait pas acquis).
Tu me fais penser aux gens qui disent aux dépressifs : "enfin mon ami, un peu de volonté !" -
Zo! a écrit:Je vois ça par exemple en algèbre linéaire "abstraite", par exemple pour un exercice du genre "démontrer que $f^2= 0$ si et seulement si $\mathrm{Im}(f)\subset \ker(f)$". Ici aussi on trouve souvent soit un blocage ("je ne vois pas quoi faire") soit un discours délirant. Je pense qu'il est bon de rabacher qu'il faut commencer par traduire mécaniquement (et rigoureusement) : $\mathrm{Im}(f)\subset \ker(f)$ veut dire $ \forall x (x\in \mathrm{Im}(f) \Rightarrow x\in \ker(f))$, $x\in \mathrm{Im}(f)$ veut dire $ \exists y\ f(y) = x$, $x\in \ker(f)$ veut dire $f(x)=0$ etc. Pas d'inspiration, pas d'astuce, mais de la méthode.
Encore une fois tu pars du principe que l'ordre et la méthode suffisent pour manipuler le formalisme en comprenant ce qu'on fait. Je ne pense pas que ce soit vrai. Rien que cette traduction absolument triviale : $x \in \mathrm{Im}(f)$ veut dire $\exists y\ f(y) = x$ est une source de difficultés que tu n'imagines pas pour un public qui découvre le formalisme (il y a un quantificateur existentiel, c'est quelque chose dont le statut n'est pas clair, il devrait peut-être l'être, c'est un autre débat, mais il ne l'est pas).
Je suis content que tu prennes pour exemple cet exercice précis, car je l'ai proposé en TD à un certain type de public, et en khôlle avec un autre type de public. Je suis catégorique : après une question de type "pouvez-vous me donner un exemple d'endomorphisme $f$ tel que $f \circ f = 0$ ?", ça se passe beaucoup mieux. Je ne théorise pas : c'est ce que j'ai effectivement observé il y a respectivement une et deux semaines sur le terrain. -
LBR a écrit:un public qui découvre le formalisme
Je suis bien d'accord que c'est un gros problème. Alors, est-ce qu'on met les pouces en se disant que de toutes façons ils n'y arriveront pas? Sinon, traiter des exemples est loin d'être suffisant pour résoudre le problème. Il me semble clair qu'on ne peut pas faire l'économie de l'explicitation des règles de manipulation formelle (et même de leur rabachage). Et il ne s'agit pas ici d'opposer le "sens" au "formalisme" comme le fait c.candide : "faire attention à la nature des objets, qu'un vecteur n'est pas une droite, qu'une suite n'est pas un nombre", c'est aussi faire bien attention au formalisme, comme dirait un informaticien, faire bien attention au type des objets. -
Zo! a écrit:Alors, est-ce qu'on met les pouces en se disant que de toutes façons ils n'y arriveront pas ?
Je dis qu'ils y arrivent mieux après avoir regardé ce qui se passe sur des exemples. Je n'oppose pas le formalisme et la découverte d'exemples, je dis que la découverte d'exemple permet de mieux assimiler ce formalisme qu'ils découvrent.
Il est vrai que ça dépend des individus : quand j'étais en sup, j'ai le sentiment qu'on m'a montré et fait chercher peu d'exemples mais que je n'ai eu aucune peine à assimiler le formalisme (sans doute étais-je déjà à l'aise avec ce type de formalisme avant mon bac, d'ailleurs). Par contre, je suis resté sur l'impression que le formalisme était parachuté, rendant très facile la compréhension de n'importe quelle correction, mais très difficile la découverte par soi-même des solutions. J'ai dû me dire quelque chose du genre : "noter ai,j l'élément en ligne i colonne j... écrire minj ai,j <= ai,j... qui peut penser à ça ?"... alors que si ça se trouve j'en aurai pris l'initiative de moi-même après un ou deux exemples.
Je ne dis pas "les élèves ont du mal avec le formalisme, tant pis, il n'y a pas de solution, faisons des exemples à la place", je dis "les élèves ont du mal avec le formalisme mais il y a une solution : leur faire aussi manipuler des exemples" (parfois : ça dépend du type d'exercice aussi, évidemment !). Encore une fois, ça n'est pas de la masturbation intellectuelle, c'est quelque chose que je constate tous les jours sur le terrain. Autre exercice de ce que tu appelles "l'algèbre linéaire abstraite", c'est-à-dire où la résolution se borne à expliciter correctement les définitions et les hypothèses : soit E un ev, F et G deux sev, montrer F U G sev <=> F c G ou G c F. Sur cet exercice, c'est incroyablement frappant comme le formalisme est accepté facilement après avoir traité le cas E=R². -
Hello Zo! et Le Barbu Rasé !
C'est amusant, ce débat dans lequel un des intervenants pense contredire l'autre qui est presque d'accord avec lui.
" Je pense qu'il est bon de rabâcher qu'il faut commencer par traduire mécaniquement (et rigoureusement) "
"Je dis qu'ils y arrivent mieux après avoir regardé ce qui se passe sur des exemples. ".
En fait, on peut fabriquer de bons mathématiciens en apprenant à certains élèves à "dérouler le formalisme". C'est le type d'enseignement en lycée qu'on a pratiqué de 1967 à 1983. Avec une forte pression sociale, donc des élèves motivés et travailleurs, ça a marché. par contre, est-ce un hasard si c'est l'époque où les écoles d'ingénieurs "moins matheuses" se sont développées et où la contestation sociale de la "dictature des maths" a terni l'aura de notre discipline ?
Mais pour la majorité des élèves, les mathématiques sont une abstraction (extraction à partir de concret) qui perd tout son sens quand on coupe le "déroulement du formalisme" de sa source. Ce qui m'est arrivé en DEA et m'a amené arrêter de faire des maths. Après 40 ans d'enseignement, je crois pouvoir dire que je ne suis pas le seul.
Donc "dérouler le formalisme", oui, mais sur des notions qui commencent à prendre du sens.
Cordialement.
NB : "prendre du sens" se fait sur des exemples, mais aussi sur du déroulement formel. C'est ce qu'on faisait en seconde quand on commençait l'algèbre linéaire avec des élèves qui avaient tout juste vu les vecteurs du plan. -
Justement sur cet exemple (F U G sev <=> F c G ou G c F). Je ne nie pas l'utilité de faire travailler sur $\R^2$. Le problème vient après qu'on a constaté ce qu'il fallait constater sur cet exemple : produire une démonstration formelle et générale. Est-ce qu'on se contente d'une bouillie laissant entrevoir qu'en gros l'idée a été comprise, ou est-ce qu'on exige une démonstration en forme, c.-à-d. rattachant explicitement chaque étape à une des (peu nombreuses) règles formellles qui entrent en jeu ici. Pour revenir au sujet du fil, (comparer $ \inf_i\sup_ja_{ij}$ et $ \sup_j\inf_i a_{ij}$ - j'ai tordu un peu les choses pour que ça soit plus facile pour moi), il me semble très utile pour l'apprentissage du formalisme de mettre en évidence que les quatre étapes de la démonstration utilisent les quatre "règles"
1) sup est un majorant
2) sup est plus petit que n'importe quel majorant
3) inf est un minorant
4) inf est plus grand que n'importe quel minorant
et qu'une fois qu'on s'est mis dans la tête que tout ce qu'on peut démontrer sur les bornes sup et inf est contenu dans ces quatre règles, la démonstration s'impose d'elle même (je l'ai déjà explicité dans le message avec les trèfles carreaux coeur pique, je n'y reviens pas).
Bien sûr, ça ne peut pas se faire de but en blanc. Mais il faut, je pense, expliciter que le jeu des inf et sup se joue avec ces règles là et uniquement ces règles là, et bien sûr donner des exemples de parties gagnantes en explicitant l'usage des règles. Comparer $ \inf_i\sup_ja_{ij}$ et $ \sup_j\inf_i a_{ij}$ peut être un tel exemple. -
je dis que la découverte d'exemple permet de mieux assimiler ce formalisme qu'ils découvrent
Bon, au moins tu le dis et avec toi bien d'autres le disent.
Zo ne dit pas vraiment le contraire, mais je pense s'oppose à une extension de cette idée "locale" à un slogan. Et je suis plutôt de ce côté politique-là.
On oublie ici de discuter des natures des choses en question: il est un peu tard et un peu vain de présenter (sans réelles preuves) une démarche qui cherche à mettre un platre sur une jambe de bois quand on a oublié de prendre la blessure à temps et laissé pourrir les blessures ou handicaps jusqu'au stade terminal.
Qu'à 18-20ans, au moment de commencer des études de maths, un étudiant (donc "adulte") ne puisse pas dire(**) "donc" au bon endroit, nul ne conteste que lui donner quelques exemples peut l'aider à trouver plus vivant l'endroit où on met "donc" ou "il existe", mais est-ce vraiment la peine de courber l'échine devant le scandale (**) et de proposer de disettes un peu pitoyables et d'en discuter 3 heures ou vaut-il mieux ne pas trop se laisser entrainer dans ce "fait constaté" et se forcer à l'ignorer pour la sanité générale.
Entre les difficiles maths de fond découvertes au cours des siècles et les "évidentes" règles de grammaire mathématiques, certes, peu "salées" au gout, qu'une société saine qui souhaite enseigner la science devraient être capable plus ou moins d'instruire très tôt, il est dommage de mettre les 2 sur le même plan.
Je redis ce que j'ai dit avant: il est facile de dire, pour quelqu'un qui connait son "bled" mathématique (jamais écrit car il fait 2 pages écrit gros), qu'ajouter du fond dans du texte de maths rend plus gouteux (et soit disant plus instructif) l'acquisition du bled. Mais ça n'a pas sens, car ledit quelqu'un connait déjà le bled. C'est un gros malentendu. Celui qui ne le connait pas, rien ne prouve, dans les arguments d'avant, qu'ajouter l'épice de quelques exemples va le lui faire connaitre. Mais il est facile de "cacher" ça sur un forum où le lecteur, aguerri à l'intendance du bled va préférer, bien sûr qu'on parle du fond.
Par ailleurs, en 2010, je trouve un peu indécent, vu les résultats qu'on connait justement d'un enseignement depuis 30ans qui a renoncé au "bled maths", plus que calamituex, de faire semblant de les ignorer. Je trouve approprié l'exemple de Zo sur Ker et Im.
Rappelons qu'une évidence n'a pas de fond. Certes c'est paradoxal, mais c'est comme ça. Je ne vois donc pas de quoi rapproche "le fond" consistant à prendre des exemples, si ce n'est qu'il éloigne, au contraire de la réalité de l'énoncé, en faisant croire que le truc "est vrai". L'exemple de Zo (où il est demandé à l'étudiant de prouver que $A \to A$)** est bien choisi. Que signifie "s'apercevoir sur un exemple que $A\to A$?
** aux abréviations près, de "Im"; "Ker"; "$\exists$.
Je vois aussi que Gérard en a profité pour redire ce qu'il dit souvent, en particulier avec ses dates. Donc à Gérard, je ne doute pas de ta sincérité témoignante, mais plutôt qu'opposer des idéologies, je pense qu'il est important aussi de quantifier. Qu'à une époque il y ait eu trop de formalisme, ne valide pas de "continuer" de militer à une époque où on est allé 10000 fois trop loin (et conséquemment) dans le sens opposé. Je crois que c'est alea un jour qui rappelait la blague. "Je ne comprends pas, la ficelle encore trop courte, et pourtant je viens de la couper en 3. Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Où je vois de l'idéologie dans ceux qui se sont opposés à Zo, c'est justement, parce qu'il ont choisi de défendre leur position dans un fil où très exactement, il était question de questions où prendre un exemple n'est pas pertinent.
Il y a des tas de sujets (je pense en géométrie, etc) où il y a une physicalisation importante qui permet de vivre les résultats et où les preuves sont plus compliquées que ce que la pensée "inconsciente" fait pour devenir sûr. Mais ce n'est vraiment pas le cas avec:
[size=x-small]edit: autosanction orthographique[/size]
1) le inf sup $\geq$ sup inf de ce fil (qui consiste à écrire une évidence, en déplaint les abréviations)
2) le $f^2=0$ implique $IM(f)\subseteq Ker(f)$ qui consiste à écrire à très peu près $A\to A$ en dépliant les abréviations
(pour (2): $f(f(x))=0\to f(x)\in \{y/f(y)=0\}$)
Ensuite, prendre des exemples pour "incarner" qu'il est "coincidant" que la science en se servant d'évidences formelles "rend sûr" des faits empiriquement constatés, c'est vraiment éduquer à l'opposé de ce qui devrait être, puisque formaliser consiste à identifier (et donc prendre conscience) la non doutabilité de quelque chose justement AU TITRE qu'il est tautologique et donc "vide" (mais la force du vide est une grande force, puisque c'est celle des maths). Vouloir maintenir une dépendance inutile de l'étudiant à l'exemple dans ce contexte me parait une compulsion un peu ambigue, qui se mélange avec le désir de ne pas vouloir voir l'aspect tautologique des théorèmes de maths et peut-être aussi le désir de garder pour soi le "secret" que ce sont des tautologies que les maths cherchent.
Comme le dit Zo, se satisfaire d'une bouillie "où l'idée(***) est comprise", c'est un peu se satisfaire que "la conscience explicite du caractère tautologique du théorème considéré" ne soit pas réussie. Quelque part, le coach qui fait ça "veut" que les mécanismes restent non conscients et garder pour lui la conscience que (***) n'est rien d'autre qu'un tautologie explicite: ou bien parce qu'il a peur que ce point entache la séduction que doit opérer la science, ou bien plus mesquinement pour rester propriétaire de ses tours de passe passe.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Pari perdu, me voici encore en train de "débattre" avec CC (ou plutôt m'efforcer de répéter une ne fois mon propos.CC a écrit:Rappelons qu'une évidence n'a pas de fond. Certes c'est paradoxal, mais c'est comme ça. Je ne vois donc pas de quoi rapproche "le fond" consistant à prendre des exemples, si ce n'est qu'il éloigne, au contraire de la réalité de l'énoncé, en faisant croire que le truc "est vrai".
Je ne dis pas qu'on identifie le "fond" d'une évidence sur un exemple, je dis qu'on écrira la démonstration formelle de cette évidence d'autant plus facilement qu'on l'a tracée sur un exemple. Je dis que le formalisme ne s'oppose pas à l'exemple mais bien au contraire que l'étude de l'exemple conduit naturellement au formalisme. Du moins sur cet exemple (et les deux exemples d'algèbre linéaire).
On peut ne pas être d'accord avec ça, avoir une idéologie qui s'y oppose (mais identifions bien que c'est ça que je dis et pas autre chose), mais ce sera difficile de m'en convaincre avec des mots alors que je constate tous les jours que c'est factuellement vrai sur mes élèves.
J'ai une pathologie que tu as, je crois, aussi (en pire que moi) : j'ai beaucoup de mal à faire des maths avec des chiffres. Mais avec des lettres ça va. Vu ce que je constate sur mes élèves, cette pathologie n'existe pas à l'état de nature : c'est quelque chose que j'ai développé (sans doute suite à l'enseignement des mathématiques que j'ai reçu). Je pense que tu es aveuglé par ta (notre) pathologie et que tu crois à tord qu'elle existe à l'état de nature. Je pense que c'est faux, ou du moins rarissime.
Encore une fois, je suis d'accord qu'il y a des exercices ou l'étude de l'exemple ne s'impose pas, et peut même être néfaste. Mais pour l'avoir vécu quand j'étais en sup, je le dis franchement : cet exercice-là n'en fait pas partie. -
Mais arrête de croire que je n'avais pas compris ce que tu dis. Je peux te répéter ce que je consteste dans ce que tu dis:
Tu dis:
je dis qu'on écrira la démonstration formelle de cette évidence d'autant plus facilement qu'on l'a tracée sur un exemple. Je dis que le formalisme ne s'oppose pas à l'exemple mais bien au contraire que l'étude de l'exemple conduit naturellement au formalisme. Du moins sur cet exemple (et les deux exemples d'algèbre linéaire).
Et je ne consteste pas que c'est vrai à x$\%$, je dis juste que pour ce qui est de la partie rouge, ce confort, même vrai dans certains cas est trompeur, et je conteste la partie violette (et particulièrement l'adverbe naturellement).
Par ailleurs, j'ai surtout développé un point de vue "extérieur" en ce sens que je dis que si on est amené à dire ça aujourd'hui (vrai ou faux, d'ailleurs), dans un contexte de crash de l'enseignement des sciences, crash probablement dû (au moins en partie) à ce qu'on l'a justement vidé des preuves et du formalisme et rempli à satiété d'exemples à tout bout de champ, on devrait chaque fois se méfier.
Tu te positionnes dans un réel dont l'état catastrophique biaise beaucoup les choses, puisque, (ok honneur à toi), voulant prendre ce réel en face, tu te demandes comment "aider" quelqu'un qui à 18-20ans n'a pas de formalisme, ie tu continues de donner à manger à un mort en quelque sorte. Ma position n'est pas tant de demander comment on apprend à un gars de 20ans que "P implique P" ou que "x=x" (ni de "critiquer" qu'on a peut-être besoin de lui donner un exemple (par exemple 3=3)) que de rappeler que ce formalisme doit précéder très très très très très très très beaucoup l'abord de notions plus savantes.
Ce fil exprime synthétiquement (à travers Gérard, toi, c.candide, peut-être d'autres) qu'imperturbablement, vous rappelez que les exemples sont importants en maths (ce que personne ne conteste), et vous le faites tellement imperturbablement que même face à "x=x" ou "A implique A", vous appuyez sans sourciller qu'un exemple serait peut-être plus utile pour digérer (ou écrire) que... "A implique A".
Or je crois qu'à un moment il faut aussi élargir le contexte d'un débat à ce qui l'entoure. C'est entre 10 et 12-13ans que l'hypothético-déductif et l'intention (sans parler de trouver), ie savoir ce qu'on cherche en sciences (des preuves ie des enchainements d'évidences), se joue, formalisme compris. Pas devant des matrices, des ker ou des Im.
Avoir besoin d'une application linéaire particulière pour "prendre conscience" que $f(f(x))=0$ implique que $f(x)$ fait partie des éléments y tels que $f(y)=0$, et être soutenu en ceci par vos plaidoiries est typique qu'il y a un aveuglement. Je ne pense pas que mon acalculie m'influence ici.
De toute façon, justement, l'exemple ne contient JAMAIS sa nécessité formelle. Il est (sa vérité est) en quelque sorte "victime" d'être un cas particulier d'une forme. Il est donc curieux d'y voir un "espace" de traçage du formalisme. Je crois que tu parles d'affectif mais sans le dire: ie de l'attirance supplémentaire que suscitent les exemples pour être "motivés" à être patients devant le besoin de formalisme. C'est autre chose. Dans ce cas il faut le dire sinon, on confond: on se dit que tu argumentes à propos de "cognitif alors que tu argumentes à propos de psychologieAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Pour préciser un peu, je reprends l'exemple (d'exo) initial du fil:
Prenons un matrice 3×3 au hasard:
560 min = 0
811 min = 1
092 min = 0
ligne des max : 8; 9; 2
min des max = 7
max des min = 1
Très très mauvaise preuve du résultat:
l'élément 2,2, qui vaut 1 est plus petit, évidemment que l'élément 2,3 qui vaut 1 qui est évidemment plus petit que l'élément 3,3 qui vaut 2.
Certes, il y a une "beauté" géométrique (on se balade dans le tableau, pour qui aime les voyages, c'est bien) de la preuve, mais à part ça, on peut littéralement dire que c'est "trouver avec du bol contingent" une "mauvaise" preuve d'un cas particulier d'une évidence.
Ok, affectivement, je veux bien que c'est plus rigolo de faire du mastermind, mais, justement, je pense que ça ne conduit pas au formalisme spécialement, car l'étudiant jeune pourra peut-être mettre un certain temps à "sentir" que ça ne nécessite pas que le min et le max existe, etc. Que fera-t-il avec un tableau infini, où on ne peut localiser le rouge et le vert du dessin ci-dessus? Passera-t-il 3 heures à "conjecturer" bêtement que c'est valable aussi avec inf et sup???
Affectivement, je suis d'accord avec toi que si au bout de 2L de sueur, il découvre que c'est un cas particulier d'évidence, ça lui "vendra" le concept d'évidence plus profondément, mais c'est affectif, et non une question de compréhension.
Il lui faudrait alors du temps, pour juste s'apercevoir qu'un formalisme tout à fait gratuit identifie
min x max y a(x,y)
avec
max f min x a(x,f(x))
et que l'exo ci du fil dit juste que max f min x a(x,f(x)) est plus grand que max (g constante) min x a(x,g(x))
Sans compter qu'avec inf et sup, les fonctions disparaissent et que le truc est encore valable.
De plus, l'extrait bleu est, bien qu'évidemment plus fort que l'exo du fil, lui, contrairement à l'exo du fil, "évident" et ne te ferait pas peiner (en tout cas moins que l'exo du fil), car rien n'est caché.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
cc a écrit:Et je ne consteste pas que c'est vrai à x%, je dis juste que pour ce qui est de la partie rouge, ce confort, même vrai dans certains cas est trompeur, et je conteste la partie violette (et particulièrement l'adverbe naturellement).
Naturellement dans cet exemple, je l'ai souligné plusieurs fois et tu sembles ne pas m'entendre. Il y a des cas de figure où les exemples sont néfastes. Pas ici.cc a écrit:Par ailleurs, j'ai surtout développé un point de vue "extérieur" en ce sens que je dis que si on est amené à dire ça aujourd'hui (vrai ou faux, d'ailleurs), dans un contexte de crash de l'enseignement des sciences, crash probablement dû (au moins en partie) à ce qu'on l'a justement vidé des preuves et du formalisme et rempli à satiété d'exemples à tout bout de champ, on devrait chaque fois se méfier.
Tes fantasmes sur le crash de l'EN ne m'intéressent pas.cc a écrit:Tu te positionnes dans un réel dont l'état catastrophique biaise beaucoup les choses, puisque, (ok honneur à toi), voulant prendre ce réel en face, tu te demandes comment "aider" quelqu'un qui à 18-20ans n'a pas de formalisme, ie tu continues de donner à manger à un mort en quelque sorte.
Ça n'a pas d'importance qu'on le lui enseigne quand il a 19 ans ou quand il en a 9. L'important c'est la façon de le lui enseigner. Quelque soit l'âge où il s'y met (et qui n'a aucune importance).cc a écrit:Ce fil exprime synthétiquement (à travers Gérard, toi, c.candide, peut-être d'autres) qu'imperturbablement, vous rappelez que les exemples sont importants en maths (ce que personne ne conteste), et vous le faites tellement imperturbablement que même face à "x=x" ou "A implique A", vous appuyez sans sourciller qu'un exemple serait peut-être plus utile pour digérer (ou écrire) que... "A implique A".
Mais bien évidemment que ça me parait profitable de donner un exemple de "A implique A" la toute première fois qu'on rencontre le mot "implique" !!
En soutenant le contraire, tu es comme un ontologue qui trouverait grotesque de donner un exemple de relation de subsomption à ses étudiants lors de son premier cours. Moi qui n'ai aucune connaissance en ontologie, je trouverais ça assez appréciable. Et de même pour l'élève qui découvre le mot "implique" (qu'il ait de 7 à 77 ans).
En même temps ça n'a que peu de chose à voir avec ce que je dis. Ton exemple est un exemple de propriété du cours. Dans ce fil il est question d'un exercice (c'est à dire de situation où c'est à l'élève de produire le formalisme).cc a écrit:Or je crois qu'à un moment il faut aussi élargir le contexte d'un débat à ce qui l'entoure. C'est entre 10 et 12-13ans que l'hypothético-déductif et l'intention (sans parler de trouver), ie savoir ce qu'on cherche en sciences (des preuves ie des enchainements d'évidences), se joue, formalisme compris.
C'est John Lennon qui a tué Kennedy.
T'as vu, moi aussi je sais énoncer des certitudes arbitraires qui ne s'appuient sur rien.cc a écrit:Avoir besoin d'une application linéaire particulière pour "prendre conscience" que f(f(x))=0 implique que $ f(x) fait partie des éléments y tels que f(y)=0, et être soutenu en ceci par vos plaidoiries est typique qu'il y a un aveuglement.
Tu prétends comprendre ce que j'ai écrit et tu continues à imperturbablement dénaturer mes propos.
Mais je le répète, je ne prétends pas que l'étude de l'exemple aide à prendre conscience du phénomène, je prétends que l'étude de l'exemple aide à trouver naturelle une formalisation de la démonstration. Je fais une remarque d'ordre quasiment syntaxique : l'examen d'exemples, contrairement aux idées reçues, aide à produire du discours formel.cc a écrit:Je ne pense pas que mon acalculie m'influence ici.
C'est une parenthèse, mais juste pour clarifier : je ne parlais pas de dyscalculie. Je me trouve acceptablement bon en calcul. Mais je calcule beaucoup plus vite l'intégrale de exp(ax) entre b et c que l'intégrale de exp(3x) entre 2 et 5. J'ai peur des chiffres quoi, j'ai besoin de me dire dans ma tête "panique pas, fais comme si ce 3 était un a, ce 2 un b, ce 5 un c...".cc a écrit:De toute façon, justement, l'exemple ne contient JAMAIS sa nécessité formelle [...]
... et blabla, et blabla, et blabla... évidemment qu'on est tous d'accord avec ça (j'espère !).cc a écrit:Il est donc curieux d'y voir un "espace" de traçage du formalisme.
Pas de traçage, d'émergence.
Tu fais encore l'amalgame entre situation de cours et situation d'exercice.cc a écrit:Je crois que tu parles d'affectif mais sans le dire: ie de l'attirance supplémentaire que suscitent les exemples pour être "motivés" à être patients devant le besoin de formalisme
Non, je ne parle pas de ça, je suis à 100% en désaccord avec ce propos que tu t'obstines à vouloir faire passer pour le mien.cc a écrit:C'est autre chose. Dans ce cas il faut le dire sinon, on confond: on se dit que tu argumentes à propos de cognitif alors que tu argumentes à propos de psychologie.
Je ne connais pas le sens de ces mots. Tu me donnes des exemples pour que je comprenne ?
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