Equations dans Z/pZ

Bonjour

Voici mon problème.
Soit le polynome X4+ 4 dans Fp[X] (Fp = Z/pZ) avec p un nombre premier égale à 3 modulo 4.
Il faut prouver que ce polynome se décompose en 2 polynomes irréductibles de degré 2.

Je pense avoir réussi à décomposer en 2 polynomes en trouvant :
X4 + 4 =(X²-2X+2)(X²+2X+2)

Il faut maintenant prouver que ces 2 polynomes sont irréductibles.

Dans le corrigé que j'ai trouvé, ils ont calculé le discriminant réduit (=-1) et ils ont prouvé qu'il n'existait pas de nombre a tel que a² = -1 (en utilisant le critère d'Euler pour calculer le symbole de Legendre).
Donc les 2 polynomes n'étaient pas réductibles.

J'ai compris la démarche mais je ne vois pas comment reprendre la même démarche en calculant le discriminant simple (=-4) et pas réduit, car alors je n'arrive pas à prouver qu'il n'existe pas de nombre a tel que a² = -4.

Quelqu'un peut il m'aider ?

Merci

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