var constante ps
Bonsoir à tous,
Etant donné une v.a.r $X$ définie sur un univers probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ telle que $P \otimes P(\{(w,l) \in \Omega^2 \ | \ X(w)=X(l)\})=1$, a-t-on $X$ constante ps?
Merci par avance.
Blue
Etant donné une v.a.r $X$ définie sur un univers probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ telle que $P \otimes P(\{(w,l) \in \Omega^2 \ | \ X(w)=X(l)\})=1$, a-t-on $X$ constante ps?
Merci par avance.
Blue
Réponses
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oui
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Ok merci, pourrais-tu me donner une indication pour la preuve stp? Je me doute que ce ne doit pas être bien dur, mais je ne vois pas trop comment m'y prendre.
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Soit $A$ un borélien $(P\otimes P)(X_1\in A,X_2\in A^c)\le (P\otimes P)(X_1\ne X_2)=0$.
Mais $(P\otimes P)(X_1\in A,X_2\in A^c)=P_X(A)(1-P_X(A))$, donc $P_X(A)\in \{0;1\}$. Ainsi $P_X$ est une masse de Dirac. -
Salut Aléa
Juste pour que les choses soient claires
On a bien (implicitement) que $X_1$ et $X_2$ sont deux copies indépendantes n'est-ce pas ? -
oui, c'est comme ça que je l'ai compris.
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De fait, sur $\Omega^2$ muni de $\mathbb{P}^{\otimes 2}$; les v.a. $X_1(w,l)=X(w)$ et $X_2(w,l)=X(l)$ sont indépendantes et suivent chacune la loi de $X$ sous $\mathbb{P}$.
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Le plus clair, c'est de se mettre sur l'espace canonique $\R^2$, avec $X_1(w,l)=w$ et $X_2(w,l)=l$.
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..et $\mathbb{P}$ la loi de $X$. Ceci dit dans l'énoncé initial rien n'empêche $\Omega$ d'être plus "riche".
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Merci Aléa
Je disais ça parce que ton égalité $(P\otimes P)(X_1\in A,X_2\in A^c)=P_X(A)(1-P_X(A))$ suppose l'indépendance de $X_1$ et $X_2$ et ce n'était pas explicitement écrit dans l'énoncé de blue_mathematics donc je voulais être sûr qu'il n'y avait pas autre chose de caché là-dessous.
a+ -
En fait, l'énoncé de blue_mathematics est complètement correct (si ce n'est que pour être puriste il aurait fallu dire P -ps au lieu de ps :-)): l'indépendance est dans le produit tensoriel.
Mais l'écriture est un peu troublante, car $X$ est désigné sous le vocable "variable aléatoire" , ce qui laisse plus ou moins entendre qu'on ne l'utilise que sur un seul espace de proba qui ne va pas bouger, alors qu'ensuite on va l'utiliser comme une fonction.
C'est pourquoi j'ai préféré l'écriture $X_1$ pour $X(w)$, et $X_2$ pour $X(l)$, mais c'est vraiment affaire de goût.... -
Merci beaucoup alea. Oui j'avais parfaitement compris l'intervention de $X_1$ et $X_2$, en les définissant bien c'est la meilleure façon pour rédiger cette démonstration.
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Sinon on peut aussi introduire l'ensemble $N=\{(w,l) \in \Omega^2 \ | \ X(w)\neq X(l)\}$. On obtient alors : $P\otimes P([X\in A] \times [X \notin A]) \leq P \otimes P(N)=0$ puis ect...
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