variable absolument continue
Bonjour,
J'aimerais savoir si ce résultat est vrai : soit $X$ une variable aléatoire de fonction de répartition $F_X$ continue sur $\mathbb{R}$ et dérivable en dehors d'un ensemble fini, alors $X$ est absolument continue et pour presque tout $x$, $f_X(x)=F_X^{'}(x)$.
Merci par avance,
blue
J'aimerais savoir si ce résultat est vrai : soit $X$ une variable aléatoire de fonction de répartition $F_X$ continue sur $\mathbb{R}$ et dérivable en dehors d'un ensemble fini, alors $X$ est absolument continue et pour presque tout $x$, $f_X(x)=F_X^{'}(x)$.
Merci par avance,
blue
Réponses
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Salut,
Pour avoir densité=dérivée de F', il faut que F soit $C^1$ par morceaux.
Après, je ne sais pas si le fait de parler d'un ensemble fini joue vraiment un rôle. En général, puisqu'on est dans les probas, on parlera d'un ensemble de mesure de probabilité nulle (donc dérivable presque sûrement)
Et l'exemple pourri qu'on peut trouver, c'est une fonction de répartition dont le support est l'ensemble triadique de Cantor, un truc dans le genre... -
Oui c'est exact, l'exemple est la v.a.r dont la fonction de répartition est l'escalier de Cantor, la fonction de répartition est continue sur $\mathbb{R}$ et derivable presque partout, mais $X$ n'est pas absolument continue. C'est la raison pour laquelle je parlais d'un ensemble fini.
En réalité c'est pour un TD que je donne, j'aimerais pouvoir justifier rigoureusement le fait que la loi $- \ln U$ suit une loi exponentielle avec $U$ de loi uniforme sur $[0,1]$. Alors bien sur j'obtiens $F_{-\ln U}(t)=(1-e^{-t})1_{\mathbb{R}_{+}^{*}}(t)$, à partir de là j'aimerais donner l'argument imparable qui permette d'affirmer que $- \ln U$ est absolument continue. -
Salut,
Dans ce précis il est facile de voir que $F_{-\ln U}$ est l'intégrale de sa dérivée p.p. donc pas de souci.
Ceci dit la question initiale est intéressante. Les exemples de fonctions continues non absolument continues que je connais sont soit violemment non monotones (des trucs en $\sin 1/x$) soit non dérivables sur un ensemble non dénombrable comme l'escalier de Cantor. Maintenant si $F$ est croissante et si ses points de non-dérivabilité sont non isolés, je pense qu'il y a absolument continuité, je vais y réfléchir (à moins que Remarque ne passe par là avant et tue le truc en deux lignes)
Par contre $C^1$ par morceaux n'est pas nécéssaire du tout, c'est la définition qu'on donne dans les petites classes pour éviter la théorie de Lebesgue mais n'importe quelle fonction $L^1$ positive d'intégrale $1$ peut être une densité, et donc n'importe quelle fonction croissante absolument continue avec les bonnes limites peut être un fonction de répartition. -
Si j'en crois mon Rudin d'analyse réelle et complexe, on a ceci :
Si $f:[a,b]\to\R$ est dérivable et de dérivée intégrable, alors $f(b)-f(a)=\int_{[a,b]} f'$.
Je n'ai pas le temps de regarder la preuve maintenant, ça a l'air de se faire en approchant $f'$ au sens $L^1$ par une fonction semi-continue qui la minore etc.
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