Triangles isométriques et angle

J'ai l'impression que toute tentative de le montrer sans "trigo ni Pythagore" ne sera qu'une façon détournée de le faire avec.
Donc je ne vais rien dire d'intéressant et dire que c'est une conséquence de la formule d'Al-Kashi. (Mais Emmanuel va me rétorquer que l'on voit la propriété en seconde, et je lui dirai que l'on bien d'autre propriétés au collège qui ne sont pas non plus démontrées et qui sont non triviales.)

Bonjour,

Content de te lire Emmanuel, d'autant que tu me remémores une partie de ma jeunesse studieuse

Je me souviens qu'en classe de 5ème, 4ème et/ou 3ème, le professeur démontrait ce théorème, et ses petits frères, par transport de l'un des triangles à l'aide de papier transparent et superposition sur l'autre pour constater qu'ils étaient égaux. J'ignore en quelle année ces démonstrations un tant soit peu érotiques ont été abolies dans les programmes.

Amicalement.

Bonjour.

Que pensez-vous de cela, c'est la méthode du père Euclide mis à la sauce actuelle :

Soit $ABC$ et $A'B'C'$ les deux triangles vérifiant $\widehat {A'} = \widehat A$, $A'B' = AB$ et $A'C' = AC$ ; on transforme $A'B'C'$ en $AB''C''$ par la symétrie $s_1$ dont l'axe est la médiatrice de $A'$ et $A$.

Puisque $A'B' = AB$, on obtient $AB = AB''$ et l'on compose $s_1$ par $s_2$ symétrie par rapport à la médiatrice de $B$ et $B''$ ; comme le point $A$ est équidistant de $B$ et $B''$ il appartient à l'axe de $s_2$ et est invariant par cette symétrie. On obtient ainsi un triangle $ABC'''$ et, par conservation des angles on a :$$\widehat{BAC'''} = \widehat{BAC}$$ les points $C'''$ et $C$ sont donc confondus ou symétriques par rapport à $(AB)$ ; il s'ensuit que si $s_3$ est la symétrie par rapport à $(AB)$, soit $s_2 \circ S_1$ transforme $A'B'C'$ en $ABC$, dans le cas où $C''' = C$ soit $s_3 \circ s_2 \circ s_1$ réalise cette transformation.

On a donc bien une isométrie du plan qui transforme le premier triangle en le second.

Bruno

Non Braun, c'est une conséquence de la définition des angles... au niveau universitaire :S !

Plus sérieusement : qu'est-ce que des angles égaux ? Au niveau ?? Deux couples de vecteurs unitaires $(\vec u,\vec v)$ et $(\vec w,\vec x)$ ont le même angle {\it géométrique} si, et seulement si $(\vec u \mid \vec v) = (\vec w \mid \vec x)$ ; comme les automorphismes orthogonaux conservent le produit scalaire, ils conservent les angles.

Ceci n'est pas démontrable au niveau du collège mais ({\it bis repetita}) {\bf qu'est-ce que des angles égaux} au niveau du collège.

Je ne saurais le dire, Bernard, de mon temps c'était cette vieille description euclidienne qui était utilisée. La démonstration d'Euclide de ce "second cas d'égalité" repose sur l"imagination d'un mouvement : Si l'on déplaçait le côté A'B' de façon qu'il coïncide avec le côte AB... etc.

Bruno

Et justement, j'y reviens, quand on n'avait pas de papier calque on utilisait la règle et le compas pour "superposer" un secteur angulaire à un autre.
Cordialement.

Je ne comprends pas ta question.