espérance

notabene
notabene
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

Je ne me souviens plus des formules (dans le cas discret et continu) qui relient l'espérance $\mathbb{E}(X)$ d'une variable $X$ aux probabilités $P(X>x)$. D'ailleurs existent-elles ?

Merci par avance

Réponses

  • jb3
    jb3
    Pour une variable aléatoire $X$ positive, on a, par Fubini :
    $$
    E(X)=E\left(\int_0^X dt\right)=\int_0^{+\infty} P(X \ge t)dt.
    $$
  • Belettete
    Belettete
    Pour le cas discret, on a $$E(X)=\sum_{k=0}^\infty k P(X=k)=\sum_{k=0}^\infty \sum_{l=1}^k P(X=k)$$

    En inversant les sommes, on a $$E(X)=\sum_{l=1}^\infty \sum_{k=l}^\infty P(X=k)=\sum_{l=1}^\infty P(X\geq l)$$
  • Lucas
    Lucas
    Belettete il y a un petit problème dans ta dernière formule : le membre de droite ne comporte que des termes positifs, alors que E(X) peut être négatif.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Ces formules ne concernent que les variables aléatoires réelles positives (et même à valeurs entières pour celle de Belettete).

    Cordialement
  • Belettete
    Belettete
    Oui pardon, pour les va positives.
    Et pour le problème des valeurs entières, on peut peut-être indexer les valeurs et former une suite croissante (dénombrable) de valeurs.
    Bref, c'est vrai qu'il reste que c'est restrictif comme formule :D
  • egoroffski
    egoroffski
    Ah non, la véracité de la formule repose sur le fait que les valeurs sont entières (sinon ton Fubini ne marche plus). Si les valeurs sont les $0 = x_0 < x_1 < \cdots < x_k < \cdots$ la formule devient $$\mathbb{E}(X)=\sum_{n=1}^{\infty} (x_n-x_{n-1}) \mathbb{P}(X \geq n)$$
  • Lucas
    Lucas
    Par ailleurs, si notabene accepte les inégalités, on a bien sûr l'inégalité de Markov pour les v.a. positives :
    $$
    \mathbb{P}(X> a) \leq \mathbb{E}[X]/a.
    $$
  • TheBridge
    TheBridge
    Salut,

    Pour répondre à la question initiale, par le théorème de transfert n'a-t-on pas de manière générale $E[X]=\int_A x P(dx)$ ?

    (avec $A\subset \R$ l'espace d'arrivée de la v.a.r.$X$ )

    Mais cela ne répond peut-être pas à la question originale.

    A+
  • gerard0
    gerard0
    Bonsoir TheBridge.

    Je ne crois pas car le $P(dx)$ n'a rien à voir avec la probabilité cumulée $P(X>x)$.

    Cordialement.
  • notabene
    notabene
    Merci à vous. Les premières formules sont exactement ce que je souhaitais.


    Egoroff ça ne serait pas plutôt $\mathbb{E}(X)=\sum_{n=1}^{\infty} (x_n-x_{n-1}) \mathbb{P}(X \geq x_n)$ ?
  • TheBridge
    TheBridge
    @ gerard0 :

    Sauf erreur $P(X\le x)$ étant càd elle permet sans problème de définir une mesure sur les boréliens de $\R$ c'est cette mesure que j'appelle $P(dx)$ dans mon post précédent

    a+
  • gerard0
    gerard0
    Compris, TheBridge.

    Mais je suis un peu dubitatif : Pourquoi la propriété n'est elle donnée que pour des v.a.r. positives ? Je n'ai pas l'impression que ta formule est valide pour une v.a. gaussienne.
    [Edit : De plus, c'est $P(X \geq x)$ qui intervient dans les formules initiales. ]

    Cordialement.
  • TheBridge
    TheBridge
    Salut gerard0

    Tu as raison sur le coté positif, il se peut que la formule $E[X]=\int_A x P(dx)$ n'ait pas de sens, si on a par exemple une indétermination si $X$ prend les valeurs $-\infty$ et $+\infty$ sur des ensembles de mesures non nulles.J'aurais donc dû rajouter une hypothèse comme la positivité ou le coté $L^1$ de $X$ par exemple.

    Sinon pour une v.a. gaussienne centrée réduite c'est assez simple je crois, puisque $P(dx)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$ où $dx$ et la mesure de Lebesgue.

    Enfin pour le sens de l'inégalité dans la probabilité, cela n'est pas très important car avec une fonction càg on peut également construire une mesure sur le même principe.

    a+
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