Principe du maximum

Le produit d'une matrice par un vecteur est un vecteur.
Seulement, $(\xi_k,\xi_k)$ est un vecteur mais qui est dans $\mathbb{R}^2,$ et $D^2u(x_0)$ est une matrice $n \times n.$
Ce n'est pas normal.

Bonjour,
oui, cette notion m'avait complétement echappé, mais j'ai revu mon cours de CDF. On a $$D^2u(x_0)(\xi_k,\xi_k)=\sum_{1 \leqi,j \leq n} \frac{\partial^2u}{\partial x_i \partial x_j}(x_0)(\xi_k)_i(\xi_k)_j$$
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.

Si, mais c'est la meme chose
$$D^2u(x_0)(\xi_k,\xi_k)= \sum_{1\leq i,j\leq n} h_{ij} (\xi_k)_i(\xi_k)_j$$
Mais je n'arrive pas à l'écrire en fonction des valeurs propres $\lambda_k$
En vous remerciant pour toute votre aide.

D'accord, j'ai bien compris la question maintenant.
Pour ca, j'ai fais un petit exemple avec $n=3,$ puis j'ai genéralisé.
On trouve que $D^2u(x_0)(\xi_k,\xi_k)$ est un scalaire.
Et on a: $$D^2u(x_0)(\xi_k,\xi_k)=(H \vec{\xi_k}).\vec{\xi_k}$$
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.

Non, je n'arrive pas à trouver la relation qui nous permet d'écrire que $$(D^2u(x_0).\vec{\xi_k}).\vec{\xi_k}=\lambda_k$$
Et je l'ai chercher dans plusieurs cours, mais je n'arrive pas dutout à la retrouver.
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.

Oui, mais j'ai oublié quelques trucs alors j'ai du raffraichir ma mémoire.
Bon, alors je pense bien que j'ai trouvé:
On a $(H \vec{\xi_k})= \lambda_k \xi_k$
Donc, $$(H \vec{\xi_k}).\vec{\xi_k}=(\lambda_k \vec{\xi_k}). \vec{\xi_k}= \lambda_k(\vec{\xi_k}.\vec{\xi_k})=\lambda_k$$ parceque $|\vec{\xi_k}|=1.$
Donc, on a $$D^2u(x_0)(\xi_k,\xi_k)=\lambda_k$$
Tout est bien correct?
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.

Svp, just une question sur la toute drnière étape.
Puisque $A$ est symétrique, alors $$L'u(x_0)=-\sum_{1 \leq i,j \leq n} a_{ij}(x_0)\frac{\partial}{\partial x_i \partial x_j} u(x_0)=-\tr(a(x_0)D^2u(x_0))$$
pourquoi on a ca ?
On ne connait pas $a(x_0).$ Et le resultat que je connait dans le cas d'une matrice symétrique $A$ est que $\tr(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}.$
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.

Sur le poly il est écrit
$$L'u(x_0)=-a_{ij}(x_0)\partial_{ij}u(x_0)$$ mais avec la convetion de sommation, celà veut dire que $$L'u(x_0)=-\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x_0)\partial_{ij}u(x_0)$$ Non?
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.

Oui, justement est mon problème est comment on arive à trouver cette relation et qui est $a(x_0)?$
En vous remerciant pour toute votre aide.

Non, en fait je ne vois pas dutout d'où vient cette formule. Malgré que j'ai cherché dans plusieurs cours d'algebre.
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.

Bonsoir,
non, je demande just l'idée je fais les calculs.
Svp, le produit de $a(x_0)$ et $H$ nous donne un vecteur et pas une matrice. Donc, on ne peut pas calculer la trace. Non?
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.

Excusez-moi svp :-(
Je viens de me rendre compte que j'ai fait une ENORME erreur. Je revois tout, puis je reviens

Bonjour,
On voudrait utiliser le lemme précédent pour caracteriser le minimum de $u.$ Et pour ca, on étudit le lemme suivant:
Le lemme dit ceci. Soit $u \in C^0(\bar{\Omega}) \cap \mathcal{C}^2(\Omega)$ telle que $L u \geq 0$ dans $\Omega.$ Alors,
(i) si $c=0$ on a $\min_{\bar{\Omega}} u= \min_{\partial \Omega}u.$
(ii) si $c \geq 0,$ on a $\min_{\bar{\Omega}}u \geq min(-u_).$

Avant de faire la démonstration de ce lemme, qui est $c$ svp? C'est le meme que celui utilisé dans le théorème principal qui dit :

Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^n.$ On se donne une matrice $n \times n$ symétrique $A$ dont les composantes $a_{ij}$ appartiennent à
$C^0(\overline{\Omega})$ et telle que
\begin{itemize}
\item il existe $\lambda > 0$ avec
\begin{equation*}
\sum_{i,j=1}^n a_{ij} \xi_i \xi_j \geq \lambda |\xi|^2 \hbox{ pour toute } x \in \overline{\Omega}\hbox{ et tout } \xi \in \mathbb{R}^n
\end{equation*}
\item un vecteur $b \in C^0(\overline{\Omega}, \mathbb{R}^n)$
\item et une fonction $c \in C^0(\overline{\Omega})$ telle que
\begin{equation*}
c(x) \geq 0 \text { dans } \overline{\Omega}
\end{equation*}
\end{itemize}
Toute fonction $u \in C^0(\overline{\Omega}) \cap C^2(\overline{\Omega})$ qui satisfait
\begin{equation*}
\begin{cases}
- \sum_{i,j} a_{ij} \partial_{ij} u(x) + \sum_i b_i(x) \partial_i u(x) + c(x) u(x) \geq 0 & \mathrm{dans\ } \Omega\\
u(x) \geq 0 & \mathrm{sur\ } \partial \Omega
\end{cases}
\end{equation*}
est positive ou nulle dans $\overline{\Omega}.$?
Et quel est le but de ce lemme. Caractériser le minimum de $u$ mais comment svp?
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.

Bonsoir,
bonsoir Cauchy,
oui, je sais. Mais c'est comme l'histoire de $a(x_0)$ ils n'avaient pas préciser que ca fesait référence à la matrice $A.$
Svp, On montre le point (i). C'est-à-dire qu'on suppose que $u \in \mathcal{C}^0(\bar{\Omega}) \cap \mathcal{C}^2(\Omega)$ telle que $Lu \geq 0$ dans $\Omega.$ Et on montre que si $c=0,$ alors on a $\min_{\bar{\Omega}} = \min_{\partial \Omega}u.$

Si $u$ atteint son minimum sur $\partial \Omega$ alors il n'ya plus rien à montrer.
Si $u$ atteint son minimum en un point $x_0$ interieur à $\Omega,$ alors on a $$D u(x_0)= \sum_{j=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_j}(x_0)$$
et $$\frac{\partial u}{\partial x_j}(x_0)= \lim_{t \rightarrow 0}\frac{u(t+x_0)-u(x_0)}{t}=0$$
Celà veut dire que $Du(x_0)=0,$ donc on a
$$L u = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x_0) \frac{\partial}{\partial x_j}u(x_0)=0$$
Mais celà n'implique pas que $Lu(x_0)=L'(u_0).$ Si $Du(x_0)=0$ celà ne veut pas dire que $Lu(x_0)=L'u(x_0).$ Non?
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.

On a
$$Lu(x)= \sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x) \frac{\partial}{\partial x_i \partial x_j} u(x)+ \sum_{i=1}^n b_i(x) \frac{\partial}{\partial x_i}u(x)+c(x)u(x)$$
On a $$Du(x_0)= \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i}(x_0)$$ et $\frac{\partial u}{\partial x_i}(x_0)=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{u(x_0+t x_i)-u(x_0)}{t}=0$ Donc, $Du(x_0)=0.$
Alors, $$Lu(x_0)=-\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x_0) \frac{\partial}{\partial x_i \partial x_j} u(x)=L'u(x_0)$$
Et déduit du lemme précédent que $Lu(x) \leq 0.$ Ce qui est une contradiction. Donc, $u$ n'atteint pas son minimum sur l'interieur de $\Omega.$ Il atteint son minimum au bord de $\Omega.$
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.

Non, excusez-moi j'avais une faute de frappe, mais je l'ai corrigé dans mon précédent message en retard.
On a $$Lu(x)= \sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x) \frac{\partial}{\partial x_i \partial x_j} u(x)+ \sum_{i=1}^n b_i(x) \frac{\partial}{\partial x_i}u(x)+c(x)u(x)$$
On a $$Du(x_0)= \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i}(x_0)$$ et $\frac{\partial u}{\partial x_i}(x_0)=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{u(x_0+t x_i)-u(x_0)}{t}=0$ Donc, $Du(x_0)=0.$
Alors, $$Lu(x_0)=-\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x_0) \frac{\partial}{\partial x_i \partial x_j} u(x)=L'u(x_0)$$
Et déduit du lemme précédent que $Lu(x) \leq 0.$ Ce qui est une contradiction. Donc, $u$ n'atteint pas son minimum sur l'interieur de $\Omega.$ Il atteint son minimum au bord de $\Omega.$
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.

On a $$Du(x_0)= h_i \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{x_i}(x_0)$$
et $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x_i}(x_0) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{u(x_{01},x_{02},\ldots, x_{0i}-t, \ldots, x_{0n}) - u(x_{01},\ldots,x_{0n})}{t} = 0$
En vous remerciant pour toute votre aide.

On a
$$Du(x_0)(h)= \sum_{i=1}^n h_i \frac{\partial u}{\partial x_i}(x_0)$$ et $\frac{\partial u}{\partial x_i}(x_0)=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{u(x_{01},x_{02},..,x_{i0}-t,..,x_{0n})-u(x_{01},..,x_{0n})}{t}=0$ et comme $u$ est linéaire, alors cette limite est nulle. Donc, $Du(x_0)=0.$
En vous remerciant pour toute votre aide ainsi que pour toute votre patience.

http://www.math93.com/theoreme/cours-differentielle_dp.htmlEt bien $u \in \mathcal{C}^2(\Omega)$ celà veut dire que $u$ est dérivable et ses dérivées sont continues jusqu'à la dérivée et sa dérivée seconde. Qi on utilise pas ca comment montrer alors que $Du(x_0)=0?$
Pour la dérivée partielle $Du(x_0)$ je l'ai recopié du papier suivant Je n'aui pas toutes les formules en tete mais je sais encore les recopier.
Quelqu'un voudrait me dire ou est l'erreur svp?

Bonjour zephir,

une erreur dans l'expression de $L$ svp?

En vous remerciant d'avance pour votre aide.

Bonjour,
merci zephir,
Svp, on a
$$ \dfrac{\partial u}{\partial x_i}(x_0)= \lim_{t \rightarrow 0} \frac{u(x_{01},...,x_{0i-1},x_i0+t,x_{0i+1},...,x_n)-u(x_{01},...,x_{0n})}{t}$$
On étudie cette limite celon le signe de $t.$ Si $t > 0$ et si $t < 0.$
Mais comment faire pour le terme du dénominateur $u(x_{01},...,x_{0i-1},x_i0+t,x_{0i+1},...,x_n)-u(x_{01},...,x_{0n})$ tend vers 0?
En vous remerciant d'avance pour votre aide.