Equadiff

Tiddy
Tiddy
dans Analyse
Bonjour,

Je cherche à résoudre l'équation suivante:

$y'_a(t)=a(cos(t)-y_a(t))$ avec $y_a(0)=0.$

Concernant l'équation homogène, je trouve pour solution $y_a(t)=\lambda \, e^{-at}$, $\lambda \in \mathbb{R}$.

Mais comment puis-je faire pour trouver une solution particulière? Avec la méthode de variation de la constante? Je ne crois pas car il faudrait que l'équadiff soit linéaire..

Merci d'avance.

Réponses

  • Cauchy
    Cauchy
    bas si la methode de variation de constante te donnera une solution particulière,
  • GreginGre
    GreginGre
    Ton équa diff. est tout à fait linéaire...
  • Tiddy
    Tiddy
    Avec la méthode de la variation de la constante, j'arrive à $\lambda'(t)=a \, cos(t) \, e^{at}$. Et pour trouver une primitive de cette expression... pas évident si?
  • gerard0
    gerard0
    Bonsoir.

    Réécrite sous la forme y' + ay = a cos(t), cette équation a une solution particulière de la forme Asin(t) + Bcos(t) (Voir un cours de BTS industriel).
    D'autre part, $ a \, cos(t) \, e^{at}$ peut s'intégrer soit avec les formules d'Euler (primitives de fonctions à valeurs complexes), soit par une double intégration par parties (on obtient une équation d'inconnue la primitive, qui se résout immédiatement).

    Cordialement
  • Tiddy
    Tiddy
    Ok, merci pour l'info, je ne savais pas pour la forme de la solution. Je vais pour ma part tenter l'intégration par parties.
  • Tiddy
    Tiddy
    A première vue, j'ai un peu de mal avec le calcul de cette primitive..

    $\lambda(t)=a\, \int cos(t) \, e^{at} \, dt$

    Soit $I = \int cos(t) \, e^{at} \, dt$

    Avec une IPP, on a $I = sin(t) \, e^{at} - a\int sin(t) \, e^{at} \, dt$.

    En faisant une autre IPP sur $\int sin(t) \, e^{at} \, dt$, je ne pense pas arriver à mes fins...
  • Cauchy
    Cauchy
    je te conseil d'ecrire $cos(t)=Re(e^{it})$ et donc tu aura une integrale exponentiel facile a trouver
  • Tiddy
    Tiddy
    Si je fais ça, je me retrouve avec $a \int e^{at} \, Re(e^{it}) \, dt$. Et là, je ne vois pas trop quoi faire de $e^{at}$ avec $Re(e^{it})$...
  • Cauchy
    Cauchy
    mais $e^{at}$ est reel, donc tu peut ecrire ton integrale sous la formew suivante $Re(\int e^{(a+i)t}dt)$
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    Bonsoir Tiddy bear : :)
    Je te donne une piste simple : :)
    Tu résouds le système suivant :
    Tu poses :
    $$ \begin{cases} I = \int \cos(t) e^{at} dt \\ J = \int \sin (t) e^{at} dt \end{cases} $$
    Tu calcules : $ I + i J $ qui donne un élément $ a $ et $ I - i J $ qui donne un élément $ b $, après tu résouds le système :
    $$ \begin{cases} I + i J = a \\ I - i J = b \end{cases} $$
    Cordialement ! :)
  • Tiddy
    Tiddy
    Ok merci! Ainsi, je parviens à $ \displaystyle \lambda(t) = \frac{a^2}{a^2+1} \, e^{at} \, cos(t)$, d'où $ \displaystyle y_p(t) = \frac{a^2}{a^2+1} \, cos(t)$.

    Par suite, $\displaystyle y_a(t)=\lambda \, e^{-at} + \frac{a^2}{a^2+1} \, cos(t)$, $ \lambda \in \mathbb{R}$.

    Êtes-vous d'accord?
  • Cauchy
    Cauchy
    mais il ne faut pas oublie' la condition $y_n(0)=0$
  • Tiddy
    Tiddy
    Exact! Avec cette condition, je tombe sur:

    $\displaystyle y_a(t)=\frac{a^2}{a^2+1} (cos(t)-e^{-at})$.

    Ok?
  • AD
    AD
    Tiddy a écrit:
    Êtes-vous d'accord?

    La fonction trouvée satisfait-elle l'équation différentielle d'origine ?
    Alain
  • Cauchy
    Cauchy
    d apres mes calculs, ton $\lambda(t)$ est faux, revise ton calcul
  • Tiddy
    Tiddy
    Je reprends alors:

    $ \displaystyle \lambda(t)=a\, \int cos(t) \, e^{at} \, dt$

    Soit donc $ \displaystyle \lambda(t)=a\, \int Re(e^{it}) \, e^{at} \, dt = a Re ( \int e^{(a+i)}t} \, dt) = a Re(\frac{1}{a+i} \, e^{(a+i)t})$

    Et à priori, $\displaystyle Re(\frac{1}{a+i} \, e^{(a+i)t}) = \frac{a}{a^2+1} \, e^{at} \, cos(t)$ d'où le résultat que je trouve. Je fais une erreur?
  • Cauchy
    Cauchy
    Tu as fait une erreur à la fin, $\displaystyle Re \Big(\frac{1}{a+i} \, e^{(a+i)t}\Big) = Re\Big(\frac{a-i}{a^2+1}e^{at}\big(\cos(t)+i\sin(t)\big)\Big)=\frac{a}{a^2+1}e^{at}\big(\cos(t)+\sin(t)\big)$
  • Tiddy
    Tiddy
    Je dois probablement faire encore erreur, mais n'a-t-on pas plutôt $ \displaystyle Re \Big(\frac{1}{a+i} \, e^{(a+i)t}\Big) = \frac{1}{a^2+1} \, (a \,e^{at} \, cos(t) + e^{at} \, sin(t)) $?
  • Cauchy
    Cauchy
    je ne pesnes pas
  • DocteurMaboule
    DocteurMaboule
    Moi ca me semble correct
  • Tiddy
    Tiddy
    Dans ce cas, j'ai beau faire et refaire les calculs, je ne vois pas d'où vient le $a$ associé au sin.. ::o
  • DocteurMaboule
    DocteurMaboule
    Fais toi un peu plus confiance
  • Cauchy
    Cauchy
    LOL c est moi qui a ajoute' ce $a$, bref tu as raison
  • Tiddy
    Tiddy
    Merci, je suis rassuré! :)

    Du coup, en tenant compte de la condition initiale, je trouve à présent:

    $\displaystyle y_a(t)= \frac{a}{a^2+1}(a \, cos(t) + sin(t) - a \, e^{-at})$

    C'est bon cette fois-ci?
  • Cauchy
    Cauchy
    Injecte ta solution dans ton équa diff et vérifie si tu as égalité.
  • Tiddy
    Tiddy
    Ca marche! Merci pour votre aide!

    Bonne soirée.
  • gerard0
    gerard0
    Tiddy a écrit:
    Soit $ I = \int cos(t) \, e^{at} \, dt$

    Avec une IPP, on a $ I = sin(t) \, e^{at} - a\int sin(t) \, e^{at} \, dt$.

    En faisant une autre IPP sur $ \int sin(t) \, e^{at} \, dt$, je ne pense pas arriver à mes fins...
    Si tu l'avais faite, tu aurais trouvé, car je te l'ai dit :
    gérard0 a écrit:
    (on obtient une équation d'inconnue la primitive, qui se résout immédiatement).
    Comme quoi, quand on suit un conseil, il ne faut pas le suivre à moitié !
    Je te laisse faire le calcul, mais tu trouveras quelque chose de la forme : $I= ... -a^2 I$ ce qui donne une équation du premier degré en l'inconnue I.

    Cordialement.
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