exo de TS spé

hilton
hilton
dans Arithmétique
Bonjour à tous j'ai un petit souci avec un exercice élémentaire de spé de TS sur lequel je bute. Si vous pouviez m'aider ? Voici la question :

Prouvez que pour tout entier naturel non nul N, uN est divisible par 7 ssi 7 divise (3^N)-1
où uN est définie par uN=1+3+3^2+...+3^(N-1), N non nul

Merci beaucoup
Bonne après-midi

Réponses

  • Guego
    Guego
    $u_N$ est la somme des termes d'une suite géométrique : ça se calcule...
  • hilton
    hilton
    oui je sais merci j'avais deja remarqué;
    c'est juste l'equivalence que je n'arrive pas a montré
    merci
  • jb3
    jb3
    Tu es ramené à montrer quelque chose du style $7$ divise un entier $x$ si et seulement si $7$ divise $2x$. As-tu des résultats à ta disposition pour montrer cela ?
  • hilton
    hilton
    je ne vois pas trop comment montrer les 2 sens de lequivalence!
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Théorème de Gauss ?
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • hilton
    hilton
    oui mais on n'a pas les 2 sens
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Si 7 divise x, alors il divise 2x, c’est trivial.
    Si 7 divise 2x, comme il ne divise pas 2, il divise x puisque 7 est premier.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • hilton
    hilton
    d'ou vient le x???
  • Sylvain
    Sylvain
    Ici x est un entier qui est la somme de ta progression géométrique soit, en fonction de N ?
  • hilton
    hilton
    j'ai rien compris mais bon :s
  • Bouzar
    Bouzar
    Bonjour

    On a $u_n=1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}= \frac{1-3^n}{1-3}=\frac{3^n-1}{2}$ et on peut alors écrire que :
    $$2 \times u_n=3^n-1.$$
    Ensuite tu utilises les conseils de nicolas.patrois :

    Si 7 divise $u_n,$ \underline{alors} il divise $2 \times u_n=3^n - 1.$
    Réciproquement, si 7 divise $2 \times u_n= 3^n -1,\ \underline{alors}$ comme il ne divise pas 2, selon le {\bf théorème de Gauss}, il divise $u_n$ puisque 7 est premier.
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